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Niveau Lycéen curieux
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calcul intégral

Posté par
Chibania
25-02-23 à 16:49

Salut tout le monde.
Bon voilà j'ai un petit problème qui m'agace.
On pose U0=(de 0 à 1)1/(1+x)dx  et pour tout n* Un=(de 0 à 1)x^n/(x+1)dx
1. Calculer U0 ( calcul facile par primitivation, j'ai trouvé ln(2))
2. Montrer que Un est décroissante (aucun problème dans cette question)
3. Montrer que Un<1/n, là je suis bloqué, j'ai essayé d'utiliser le theoreme de la moyenne, ainsi que comparer x^n/(x+1) avec 1/n par une récurrence puis tout intégrer, mais rien ne fonctionne.
4. Calculer lim(-1)^(n+1)Un lorsque n tend vers l'infini, là aussi je bloque, j'ai remarqué que limUn=0 donc la limite à Calculer doit aussi tendre vers 0, mais je ne suis pas si sûr.

Si c'est possible  de m'éclairer. Merci à vous.

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 25-02-23 à 16:59

salut

tu peux remarquer que si 0 < x < 1 alors 1 < 1 + x < 2

et donc en prenant l'inverse ...

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 25-02-23 à 18:34

Oui j'ai essayé, mais lorsque j'inverse ça donne 1/2<1/x+1<1 puis on a x^n compris entre 0 et 1, donc en faisant le produit ça donne le résultat inférieur à 1. 1>1/n donc ce n'est pas ce qui est demandé.

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 25-02-23 à 18:42

Si vous avez d'autres suggestions. Merci.

Posté par
phyelec78
re : calcul intégral 25-02-23 à 19:37

Bonjour,

Peux-être cela peux vous aider j'ai trouvé I_n =\dfrac1n + I_{n-1}

Posté par
phyelec78
re : calcul intégral 25-02-23 à 19:41

erreur de frappe :I_n =\dfrac1n - I_{n-1}

Posté par
phyelec78
re : calcul intégral 25-02-23 à 19:42

autre chose :

Soit a et b deux réels tels que a<b et f une fonction continue sur l'intervalle [a;b].

Si pour tout réel x∈[a;b] on a f(x) \ge 0,

alors : \int _a^bf(x)dx \ge 0

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 25-02-23 à 19:50

ben oui et le plus important est que

Chibania @ 25-02-2023 à 18:34

1/x+1<1 puis on a x^n compris entre 0 et 1, donc en faisant le produit avec x^n
ça donne ... ?

et ensuite tu intègres !!

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 25-02-23 à 20:13

Merci beaucoup pour vos réponses..J'ai trouvé la solution

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 25-02-23 à 20:16

et comment as-tu fait ? avec ce que je t'ai proposé ou autre chose ?

Posté par
lake
re : calcul intégral 26-02-23 à 09:45

Bonjour,
La question 4) paraît incomplète. Comme est présenté l'exercice, on s'attend à voir venir la limite de la somme alternée des inverses.

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 26-02-23 à 14:45

J'ai résolu la question avec ce qu'a proposé phyelec78. Or pour la question 4, c'est posée comme je l'ai écrit..Je ne sais toujours pas comment vais je la faire. Mercii

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 26-02-23 à 14:46

lakeSi c'est possible de me dire quelle somme alternée d'inverses ? Merci.

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 26-02-23 à 16:11

quel dommage :

0 \le x \le 1 \Longrightarrow 1 \le x + 1 \le 2 \Longrightarrow \dfrac 1 {x + 1} \le 1 \Longrightarrow \dfrac {x^n} {1 + x} \le x^n

et il suffit d'intégrer cette inégalité entre 0 et 1  

d'accord avec lake : guère d'intérêt pour la question telle qu'elle est posée

il est évident que si u_n tend vers 0 alors (-1)^n u_n tend aussi vers 0 ...

Posté par
lake
re : calcul intégral 26-02-23 à 16:11

Pour 4)  ton intuition est bonne mais plus rigoureusement, on peut écrire :
(u_n) est une suite à termes positifs qui tend vers 0 et :

 -u_n\leq (-1)^{n+1}u_n\leq u_n
Le  théorème des gendarmes s'applique.
Pour une éventuelle suite à cette question, on peut demander de déterminer la limite suivante :

\lim\limits_{n\to +\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}\right)

où il sera utile de prouver que :

  (-1)^{n+1}u_n=-u_0+\sum_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{k}

Posté par
lake
re : calcul intégral 26-02-23 à 16:12

Ah ! Bonjour carpediem. Je te laisse poursuivre.

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 26-02-23 à 16:21



plus généralement même : pour tout réel k si u_n --> 0 alor k u_n --> 0

et c'est vrai pour tout réel k(n) borné comme ici k(n) = (-1)^n

Posté par
Chibania
re : calcul intégral 26-02-23 à 16:51

carpediem et lake je vous remercie beaucoup. J'ai bien saisi vos réponses.

Posté par
carpediem
re : calcul intégral 26-02-23 à 17:52

de rien



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