Niveau Prepa intégrée

calcul intégrale

Posté par
khalid276 23-03-24 à 12:47

Bonjour je viens à vous car je bloque sur le calcul de l'intégrale suivante,
$\int_{0}^{1}{\frac{1}{e^{2x}+1}}$

Je sais que ça fini en décomposition d'élément simple mais je n'arrive même trouver la primitive. J'ai une formule de cours pour les changement de variable mais elle est incompréhensible.

Merci

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 13:18

Bonjour,

Le changement de variable 1 + e^(2x) = t permet de trouver facilement une primitive.

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 13:41

Bonjour

khalid276 il manque quelque chose dans l'écriture de ton intégrale...

Sinon moi je lui mets un $\text d\,t$ et c'est vite fait

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 14:11

candide2

candide2 @ 23-03-2024 à 13:18

Bonjour,

Le changement de variable 1 + e^(2x) = t permet de trouver facilement une primitive.

Justement j'ai essayé mais je bloque j'obtiens :

$\int \frac{1}{t}*2e^{2x}dt$

ou bien que : $\int \frac{1}{e^{2x}+1}*\frac{1}{2e^{2x}}dx$

mais je ne vois pas comment continué les calculs ni dans le premier cas ni dans le deuxième

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 14:11

malou @ 23-03-2024 à 13:41

Bonjour

khalid276 il manque quelque chose dans l'écriture de ton intégrale...

Sinon moi je lui mets un $\text d\,t$ et c'est vite fait

Ah ouii c'est vrai mince je l'ai oublié

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 16:45

Le changement de variable que propose candide devrait fonctionner.
$1+e^{2x} = t \iff x = \dfrac{\ln(t-1)}{2}$ , c'est bien un $C^1$ -difféomorphisme de $[0,1]\to[2,1+e^2]$ , et il est même croissant...

$\int_0^1 \dfrac{dx}{1+e^{2x}} = \int_2^{1+e^2} \dfrac{dt}{2t(t-1)} = \cdots$

Et là tu fais ta décomposition en éléments simples

Pour une primitive, c'est en gros le même calcul, ou bien tu peux remarquer aussi que

$\int_0^a \dfrac{dx}{1+e^{2x}} = a\int_0^1 \dfrac{du}{1+e^{2au}}$ pour tout a > 0.
Donc (n'oublie pas le a qui traine devant), le calcul est le même mais à la place du $1+e^2$ dans l'intégrale en t, c'est $1+e^{2a}$ .

Pour a négatif, $\int_0^a \dfrac{dx}{1+e^{2x}} = -\int_0^{-a} \dfrac{du}{1+e^{-2u}} = -\dfrac12\int_0^{-a} \dfrac{2e^{2u}}{1+e^{2u}}du$ . Primitive d'une fonction de la forme u'/u

D'ailleurs tu peux faire la même chose directement avec la fonction de l'énoncé

$\int_0^a \dfrac{dx}{1+e^{2x}} = \int_0^a \dfrac{e^{-2x}}{1+e^{-2x}}dx = -\dfrac12\int_0^a \dfrac{-2e^{-2x}}{1+e^{-2x}}dx$ . Primitive d'une fonction de la forme u'/u

Posté par re : calcul intégrale 23-03-24 à 17:47

$\int \frac{1}{(1+e^{2x})} dx$

Changement de variables : 1 + e^(2x) = t

2.e^(2x) dx = dt
dx = 1/(2.(t-1)) dt

$\to \frac{1}{2} \int \frac{1}{t.(t-1)} dt= \frac{1}{2}.[\int \frac{dt}{t-1} -\int \frac{dt}{t}] = ...$

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