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Niveau maths spé
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calcul loi de probabilité

Posté par
martin9
23-01-22 à 18:14

Bonsoir,

pour calculer une loi de probabilité j'ai besoin de simplifier l'expression suivante :

\mathbb{P}(X = k) = \left(1 - \dfrac{k-1}{n} \right)^m - \left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^m

Est-ce que quelqu'un aurait une idée ?

Merci !

Posté par
lafol Moderateur
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 18:20

Bonjour
peut-on avoir un énoncé complet et pas juste ce que tu penses en avoir compris?

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 18:42

On sait que X est une VAD telle que  \mathbb{P}(X>k) = \left(1 - \dfrac{k}{n} \right)^m.  On veut en déduire la loi de X, l'espérance de X.

Posté par
lafol Moderateur
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 18:50

que représentent k, n et m ?

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 19:10

Effectivement j'avais oublié,

n est un entier, m est un entier inférieur à n et k est un entier inférieur à n.

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 19:45

Est-ce que ça vous inspire quelque chose ?

Posté par
verdurin
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 19:51

Bonsoir,
il me semble difficile de donner une forme plus simple.
Que veux tu faire avec ce résultat ?

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 19:58

D'accord, dans tous les cas j'ai pu calculer l'espérance avec un télescopage mais je me demandais s'il n'y avait pas une forme plus simple que je ne voyais pas.

Merci pour votre réponse

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 21:00

En fait je viens de remarquer une erreur dans mon calcul d'espérance et j'obtiens E(X) = E(X). C'est vrai mais pas très utile…
Auriez vous une idée de comment procéder ?

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 21:26

Pour donner du contexte, c?est cet exo : https://***lien supprimé***énoncé de 2 lignes à recopier ***

Sauf que je cherche aussi l?espérance de X

Posté par
martin9
re : calcul loi de probabilité 23-01-22 à 22:13

Est-ce que quelqu?un aurait une idée ?

L?énoncé complet est :
Une urne contient  N  boules numérotées de  1  à  N . On en tire  n  en effectuant des tirages avec remise. On note  X  et  Y  le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de  X  et la loi de  Y

et c'est tiré d'ici :

La loi de X étant déterminée, je cherche à calculer l?espérance de X

malou edit

Posté par
flight
re : calcul loi de probabilité 24-01-22 à 12:32

salut

tu peux faire  comme ca  : d'une

P(X>=1) =P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+....+P(X=n)
P(X>=2)  =                    P(X=2)+P(X=3)+....+P(X=n)
P(X>=3)  =                                       P(X=3)+....+P(X=n)
...
P(X>=n-1)=                                                  P(X=n-1)+P(X=n)
P(X>=n)=                                                                                 P(X=n)


en additionnant membre à membre  :

P(Xk)= P(X=1)+2P(X=2)+.P(X=3) +.....n.P(X=n) =E(X)

Posté par
flight
re : calcul loi de probabilité 24-01-22 à 12:33

avec k compris entre 1 et n sauf erreur

Posté par
flight
re : calcul loi de probabilité 24-01-22 à 12:39

ensuite sans suivre le corrigé proposé que je trouve un peu lourd ; il faut voir les choses simplement

par exemple  pour P(Y=3)   on calcul

P(3.....) + P(33.....)+P(333.....)+.......P(333..3)     les points sont forcement que  des "1" ou des "2".
P(3.....)  = C(n,1).2n-1 /Nn
P(33.....)  = C(n,2).2n-2/Nn
P(333.....)  = C(n,3).2n-3/Nn
....
P(333..3)=C(n,n).2n-n/Nn

on additionne tout ca membre à membre  et  hop  il vient

P(Y=3)= C(n,k)2n-k/Nn
avec k compris entre 1 et n , ce qui vaut  :
P(Y=3)= 2n ((1+1/2)n-1) /Nn=
(3n - 2n )/Nn.

voila meme resultat que le corrigé mais par une autre voie plus simple

Posté par
flight
re : calcul loi de probabilité 24-01-22 à 12:41

ensuite facile d'écrire une neutralité pour Y = k  en reprenant l'idée précédente

Posté par
flight
re : calcul loi de probabilité 24-01-22 à 12:41

(une généralité )



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