Niveau Prepa (autre)

Calcul mental (astuce)

Posté par
Duplombenor 04-07-24 à 19:50

Bonjour,

Cette année je n'aurais pas le droit a la calculette - et je recherche des astuces pour m'ameliorer (étant donné que c'est un QCM je n'ai pas besoin d'être tous pile sur la bonne valeur mais quand même assez proche)

- Comment calculer la racine carré d'une puissance de 10 impaire :

Par ex : 2*10^-4 fera 1.4*10^-2
Mais comment calculer de tête 2*10^-7
Cela ferait 1*10^-3.5 et ensuite :

- comment calculer des puissance de 10 avec des virgule ?
Par exemple pour trouver le Ka grace a un pKa

Merci de votre aide

Posté par re : Calcul mental (astuce) 04-07-24 à 20:11

salut

il ne faut pas confondre 2 * 10^-4 et (2 * 10^-4) qui se lisent respectivement $\sqrt 2 \times 10^{-4}$ et $\sqrt {2 \times 10^{-4}}$

première réponse :

sauf à connaitre une valeur approchée de $\sqrt {10}$ et de son inverse ça m'étonnerait qu'on te pose une question avec des puissances impaires

deuxième réponse :

une valeur approchée de $\sqrt 10$ est $\pi$ mais pour son inverse j'en sais rien

troisième réponse :

apprendre le calcul d'une racine carrée à la main ... ce que faisaient et savaient faire nos grands-pères (enfin ceux qui allaient jusqu'en troisième environ) ...

Posté par re : Calcul mental (astuce) 04-07-24 à 20:39

En fait il suffit de mémoriser seulement une approximation de $\sqrt{10}$ , puisque pour son inverse, tu peux dire que $\dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$ est la même chose que $\sqrt{10}$ , mais en décalant la virgule d'un cran vers la gauche

Posté par re : Calcul mental (astuce) 04-07-24 à 21:08

Sinon pour la troisième méthode de carpediem (division euclidienne plus pimentée), voici comment faire

1) écrire 10 sous la forme (nombre1)(virgule)(nombre2) où nombre1 et nombre 2 ont un nombre pair de chiffres (autrement dit, on complète avec des 0). Plus tu rajoutes de zéros à droite, plus ton calcul sera précis (mais difficile). Par exemple, 10.00 00

2) on peut maintenant découper notre écriture en groupes de deux chiffres. Ici, il n'y a rien à faire, du tout, mais si ça avait été la racine de 314 que tu cherchais, ça donnerait 03 14 00 00

3) trouver une première estimation de la partie entière du résultat, c'est à dire le plus gros entier dont le carré est inférieur ou égal à 10 dans notre cas, c'est bien évidemment 3, dont le carré est 9

4) on soustrait 9 à 10, il reste 1, on abaisse le premier 00 et on est amené à travaille avec le groupe 01 00, qui forme le nombre 100

5) on multiplie par 2 de résultat jusqu'alors (qui est 3) et on obtient 6

6) on cherche un chiffre (entre 0 et 9, donc) x tel que 6x * x soit maximal et inférieur ou égal à 100 (6x désigne l'écriture en base 10 et non le produit de 6 et de x). C'est bien évidemment x = 1 qui fait l'affaire. Le résultat commencera donc par 3.1

7) on soustrait 61 à 100 et on obtient 39
on abaisse le deuxième groupe 00 et obtient le nombre 3900
on multiplie par 2 le résultat jusqu'alors sans virgule (qui est 3.1) et on obtient 2*31 = 62
on cherche le chiffre x tel que 62x * x soit maximal et inférieur ou égal à 3900. 626*6 = 3756 donc x = 6 convient
le résultat commence donc par 3.16

8) il n'y a plus de 00 à abaisser, mais s'il y avait eu un troisième groupe de 00
alors rebelotte, on soustrait 3756 à 3900 et on obtient 144 et on abaisse le 00 ce qui donne 14 400
on multiplie par deux le résultat jusqu'alors et on obtient 316*2 = 632
on cherche le chiffre x tel que 632x * x soit maximal et <= 14400, ce qui donne x = 6322*2 = 12644
le résultat commence donc par 3.162

etc

J'espère que je suis clair

Posté par re : Calcul mental (astuce) 04-07-24 à 22:02

Désolé du multipost, mais je pense que c'est plus digeste en plusieurs parties

Concernant le calcul du logarithme, la méthode suivante est généralisable en n'importe quelle base, mais ta question porte sur le pH donc on va faire ça en base 10.

Si tu veux calculer log(48712)

1) écrire ton nombre en notation scientifique avec un seul chiffre avant la virgule : 4.8712 * 10^4, de sorte que son log soit égal à 4 + log(4.8712). Le résultat commencera donc par un 4

2) mettre 4.8712 à la puissance 10. C'est un calcul sacrément chiant
tu peux accélérer les choses en utilisant l'exponentiation rapide $u^{10} = (u^2)^5 = u^2 (u^2)^4$ . Il s'agit donc de calculer un carré, ainsi que le carré du carré du carré en question.
$u^2 = 4.8712^2 = 23.72858944$
$23.72858944^2 = 563.0459568120795136$
$(u^2)^4 = 563.0459568120795136^2 = 317020.74948243010882532713960881258496$
donc $u^{10} = 7522455.2084296765458107083694670760344209588224$
calcul vraiment ignoble, c'est des multiplications qui débouchent sur un nombre à 47 chiffres. Autant dire que cette méthode n'est vraiment à faire qu'avec des puissances simples à calculer...

3) la puissance de 10 s'écrit sous la forme 7.(truc) * 10^6
donc le résultat commence par 4.6
et ensuite on recommence, il faut mettre 7.(truc) à la puissance 10 et chercher la plus grosse puissance de 10 inférieure ou égale au résultat, c'est un 8 donc le résultat commence par 4.68

C'est à s'arracher les cheveux, mais en fait il n'y avait pas besoin de pousser le calcul avec autant de chiffres à trainer!
On aurait pu simplement faire grosses approximations en utilisant des puissances connues.
C'est à dire qu'on encadre $4.8712^{10}$ entre $4^{10}$ et $5^{10}$
$4^{10} = (2^{10})^2 = 1024^2 \geqslant 1000^2 = 10^6$
et $5^{10} = (10^{10})/2^{10} < 10^{10} / 10^3 = 10^7$
Ce qui veut dire que le résultat, entre 10^6 et 10^7, aura 7 chiffres avant la virgule. Donc la décimale suivante sera 7-1 = 6
Et donc tu peux t'arrêter là et dire que le résultat commence par 4.6

Posté par re : Calcul mental (astuce) 05-07-24 à 14:21

Ulmiere @ 04-07-2024 à 21:08

J'espère que je suis clair

pour clarifier et résumer : on applique simplement l'identité remarquable $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

soit m le réel donc on cherche la racine carrée

on cherche le plus grand entier a tel que $a^2 \le m$

b se détermine ensuite de façon que b soit le plus grand entier tel que $2ab \le m - a^2$

et s'il y a un reste on recommence ... avec de virgule à un moment

PS : merci Ulmiere pour l'inverse de $\sqrt {10}$ ... je n'y ai même pas pensé !!

Posté par re : Calcul mental (astuce) 06-07-24 à 20:14

Bonjour Ulmiere et carpediem je vous remercie beaucoup d'avoir pris le temps de me repondre cela m'a aidé

Posté par re : Calcul mental (astuce) 07-07-24 à 09:26

de rien