Voici ce petit exercice que je vois assez difficile ou peut-être parce que j'ai passé longtemps loin des polynômes:
Soit n un entier naturel non nul et ω = e^(2iπ/5).
On pose pour tout z de C:
P(z)= z^(n-1)+z^(n-2)+....+z+1-(z-ω)(z-ω²)....(z-ω^(n-1))
1) Montrer que deg(P) ≤ n-2
2) Montrer que ω , ω² ,....ω^(n-1) sont n-1 racines distinctes de P (Songer aux racines nièmes de l'unité).
En déduire que P(z)=0 pour tout z, puis que n = (1-ω)(1-ω²)....(1-ω^(n-1)).
3) Montrer, par un calcul de module, que : sin(π/n).sin(2π/n)....sin[(n-1)π/n] = n/[2^(n-1)]