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Niveau Licence Maths 1e ann
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Calcul somme série entière

Posté par
brunomimic
13-01-18 à 19:40

Bonjour à tous,

j'essaie de calculer la somme de la série entière de terme général (x^3n)/(n(n+2))
J'ai décomposé en éléments simples 1/(n(n+2)) mais le 3n à l'exposant me pose ensuite problème pour le calcul.
Niveau L2

Merci pour votre aide

Posté par
Mostvaluable
re : Calcul somme série entière 13-01-18 à 19:51

Il suffit de poser x3 = z et 1/(n(n+2)) = an  tu obtiendras alors une serie entière typique que tu pourras étudier aisement

Posté par
etniopal
re : Calcul somme série entière 13-01-18 à 19:53

1.
z3n =( z3)n .
Si tu as une formule pour  n>0 tn/n(n + 2) tu y remplaces t par z3

2.
tu as  décomposé en éléments simples  pour quoi faire ?

Posté par
brunomimic
re : Calcul somme série entière 13-01-18 à 20:26

Merci à tous les 2.
Je voulais décomposer en éléments simples pour avoir des séries de terme générale t^n/n et t^n/n+2 qui sont faciles à calculer. Peut être que dériver directement t^n/n(n+2) est préférable?

Posté par
carpediem
re : Calcul somme série entière 13-01-18 à 21:10

salut

2 = n + 2 - n => \dfrac 2 {n(n + 2)} = \dfrac 1 n - \dfrac 1 {n + 2} = \dfrac 1 n - \dfrac 1 {n + 1} + \dfrac 1 {n + 1} - \dfrac 1 {n + 2}

2s(x) = 2 \sum \dfrac {x^{3n}} {n (n + 2)} = \sum \left( \dfrac {x^{3n}} n - \dfrac {x^{3n}} {n + 2} \right) = \sum \dfrac {x^{3n}} n - \dfrac 1 {x^6} \sum \dfrac {x^{3(n + 2)}} {n + 2} = t(x) - \dfrac 1 {x^6} \left[t(x) - x^3 - \dfrac {x^6} 2 \right] = \dfrac 1 2  + \left( 1 - \dfrac 1 {x^6} \right) t(x) - \dfrac 1 {x^3}

et la série entière t(x) = \sum \dfrac {x^{3n}} n est "classique" ...

le raisonnement est valable ppour x non nul ...

il faudra vérifier le prolongement à 0 de la fonction s ...



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