Bonjour,

Soit la droite D de vecteur unitaire u et soit P un point non situé sur
D.

Soit H le point correspondant à la pojection orthognale de P sur D: le
but est donc de déterminer h = PH.


Considère un vecteur v perpendiculaire à u et unitaire: vect_v est donc colinéaire
à vect_PH.

1iere solution:
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Donc vect_PH = ma_PHxvect_v    (ma=mesure_algébrique)

Calcul du produit scalaire

vect_PH.vect_v = ma_PHxvect_v.vect_v

Or vect_v est unitaire => vect_v.vect_v = 1


=> vect_PH.vect_v = ma_PH


h = PH = |ma_PH| = |vect.PH.vect_v|


On peut maintenant donner une expression littérale de h.

Soit D d'équation ax+by+c = 0

Soit H (x1,y1) appartient à D => ax1 +by1 + c =0

Soit P (x0,y0)

vect_PH =( x1-x0,y1-y0)

Un vecteur orthogonal à D est par exemple (a,b): un vecteur unitaire
vect_v (a/rac(a^2+b^2),b/rac(a^2+b^2))


vect_PH.vect_v
= a(x1-x0)/rac(a^2+b^2) + b(y1-y0)/rac(a^2+b^2))
= (ax1+by1 -ax0 -by0)/rac(a^2+b^2))

Or ax1+by1 = -c
= (-c-ax0-by0)/rac(a^2+b^2))


h = |ax0+by0+c|/rac(a^2+b^2))


21ieme solution:
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Inégalité de Cauchy-Schwarz


|vect_PH.vect_v| <= norme_PHxnorme_vect_v

Or vect_PH et vect_v sont colinéaire => inégalité précédente devient
une égalité

=> |vect_PH.vect_v| = norme_PHxnorme_v


Or norme_v = 1 et norme_PH = h

=> h = |vect_PH.vect_v|


On peut maintenant donner une expression littérale de h.

Soit D d'équation ax+by+c = 0

Soit H (x1,y1) appartient à D => ax1 +by1 + c =0

Soit P (x0,y0)

vect_PH =( x1-x0,y1-y0)

Un vecteur orthogonal à D est par exemple (a,b): un vecteur unitaire
vect_v (a/rac(a^2+b^2),b/rac(a^2+b^2))


vect_PH.vect_v
= a(x1-x0)/rac(a^2+b^2) + b(y1-y0)/rac(a^2+b^2))
= (ax1+by1 -ax0 -by0)/rac(a^2+b^2))

Or ax1+by1 = -c
= (-c-ax0-by0)/rac(a^2+b^2))


h = |ax0+by0+c|/rac(a^2+b^2))


A+