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Calcul vectoriel

Posté par
Jam18
13-10-21 à 14:14

Bonjour à tous, j'espère que vous allez bien, j'ai un exercice auquel je bloque, j'aimerai avoir un petit coup de main svp, voici l'énoncé :

ABCD est un tétraèdre et I le milieu de [AB].
1) Faire une figure et construire le point G tel que \vec{AG}=\frac{3}{2}\vec{AC}+\frac{1}{2}\vec{BD}
J'ai fais la figure voir ci- dessous

2a) Montrer que \vec{AC}+\vec{BD} = \vec{IC}+\vec{ID}
On doit écrire \vec{IC}+\vec{ID} en fonction de \vec{AB}  et  \vec{AD} J'ai fais :
\vec{IC}+\vec{ID} = \vec{IB}+\vec{BC} + \vec{IB} + \vec{BC} + \vec{CD}
=2\vec{IB}+2\vec{BC}+\vec{CD}
=\vec{AB} + 2\vec{BC} +\vec{CD}
Mais je suis bloqué après...
Merci d'avance pour votre aide







3) En déduire \vec{IG} en fonction des vecteurs \vec{IC} et \vec{ID}. Qu'en déduit-on sur les points I,G,D et C ?
3) Construire l'intersection de (DG) et
(ABC)

Calcul vectoriel

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 14:21

Bonjour,
Pour 2a), tu y es presque (j'écris sans les vecteurs) :
AB + 2BC + CD = AB+BC + BC+CD = ...

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 14:43

Ah oui, c'est vrai j'étais pas loin, donc cela fait bien \vec{AC}+\vec{BD}.
Ensuite pour la question n°3 je peux pour l'instant écrire que :

\vec{IG} = \vec{IA}+\vec{AG}
On a \vec{AG} = \frac{3}{2}\vec{AG}+ \frac{1}{2}\vec{BD}
\vec{AG} = \frac{3}{2}\vec{AG}+ \frac{1}{2}\vec{BD}

Mais il faut d'abord que j'exprime \vec{AG} en fonction de \vec{IC} et \vec{ID}

Je peux dire que \vec{AG} = \frac{3}{2}\vec{IC}+\frac{1}{2}\vec{ID} ?


Et après il faut que j'exprime \vec{IA} en fonction de \vec{IC} et \vec{ID} c'est bien ça ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 14:52

Il faut utiliser l'égalité du a).
Par définition de G :
IG = IA + AG = IA + (3/2)AC +(1/2)BD.
On essaye de faire apparaître AC + BD du a) :
IG = IA + AC + 1/2(AC+BD).
Essaye de terminer.

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 15:16

Ok, c'est bon j'a trouvé.
\vec{IG} =\vec{IA} + \vec{AC}+\frac{1}{2}(\vec{AC}+\vec{BD})
= \vec{IC} + \frac{1}{2}(\vec{IC}+\vec{ID})
= \frac{3}{2}\vec{IC}+\frac{1}{2}\vec{ID}

Donc ces 3 vecteurs sont coplanaires, et ces 4 points aussi. Je fais la suite (question n°4), et je le mettrai ici pour que vous me dites si c'est bon.

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 15:53

J'ai fais ça pour la question n°4.  C'est correct ?

Calcul vectoriel

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 16:37

Une figure sans explication ni justification n'est pas la réponse demandée.
Quelques remarques :
Le point G n'a aucune raison d'être dans le plan BCD.
Pour que deux droites soient concourantes il faut qu'elles soient dans un même plan.

Utilise les 4 points coplanaires démontrés auparavant.

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 17:14

Ah oui excusez-moi...
Si je prolonge (CI) et (GD) ça vous convient mieux ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 17:17

Oui, mais toujours pas de justification

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 17:35

Les points I,G,C,D sont coplanaires et pour des droites concourantes, il nous en faut.
Aussi [CI] appartient au plan ABC on peut donc tracer (CI) et (GD). Elles vont donc se croiser car leur point sont coplanaires.

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 17:36

Enfaite j'ai compris, mais j'ai essayé d'expliquer avec des phrases et non en langage mathématique...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 18:24

C'est pas mal.
On dit plutôt "se couper" au lieu de "croiser".

J'essaye d'expliquer ce qui est derrière "Elles vont donc se croiser car leurs points sont coplanaires" :
Il faut faire attention car :
Deux droites coplanaires peuvent ne pas se couper. Elles peuvent être parallèles !
Et deux droites qui semblent se couper sur la figure ne se coupent pas si elles ne sont pas coplanaires.
C'est le cas sur ta figure pour les droites (AC) et (BD).

En perspective cavalière, des droites parallèles sont représentées par des droites parallèles.
Donc, si deux droites coplanaires ne sont pas représentées par des droites parallèles alors elles sont sécantes.
Et leur point commun se lit sur la figure.

Posté par
Jam18
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 18:28

D'accord madame, j'ai maintenant terminé l'exercice. Je vous remercie pour votre aide ! Passez une bonne soirée et bonne fin de semaine

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Calcul vectoriel 13-10-21 à 19:03

De rien, et à une autre fois sur l'île \;



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