Pour la question 2, les points semblent seulement coplanaires 3 à 3, par côté du triangle 3D mais pas tous à la fois.
Comment écrire cela en terme de vecteurs ?

Si tu sais faire des produits vectoriels , tu continues .
Sinon ....

Bonjour
trois points sont TOUJOURS coplanaires ....

ton énoncé n'est pas clair : qu'est-ce qui donne un triangle équilatéral ? les ponts M ? si oui, ils sont fatalement tous dans le plan de ce triangle, non ?
Ensuite tu parles de triangle 3D gné tu veux peut-être dire "tétraèdre" ?

salut

comme dans toute équation il faut éliminer l'inconnue ... autant que faire se peut ...

et avec les vecteurs il y a la plus si très célèbre relation de Chasles ....

et on se fout de ce que ce peut être sans voir dans l'espace ....

Pardon, je ne connais pas bien ni le calcul vectoriel ni le vocabulaire mathématique .
Les points ABCD donnent un tétraèdre() sauf erreur de ma part.
Et oui effectivement pour les 3 points. Quelle procédure suivre pour vérifier cela avec 4 points ?


D'après la formule que j'ai trouvée :

MA^MB= (x'',y'',z'')

x''= yz' - zy'
y''= zx' - xz'
z''= xy' - yx'

Appliqué à mes vecteurs :
MA (0-x,0-y,0-z) ; MB (1-x,0-y,0-z) ; MC (0-x,1-y,0-z), MD (0-x,0-y,1-z).


x''=  -y(-z) +z(-y) = yz -yz =  0
y''=  -z(1-x) +x(-z) = zx -z -zx = -z
z''=  -x(-y) +y(1-x) =  xy + y -xy = y


J'avoue que je ne me sens pas beaucoup plus avancé.
Y a-t-il une interprétation géométrique de M ou/et de l'égalité qui saute aux yeux ?

C'est la première fois que j'utilise le produit vectoriel,  je sais seulement qu'il représente à quel point deux vecteurs sont opposés, contrairement au produit scalaire qui représente la "similitude". ?

Merci beaucoup

Je n'avais pas du tout pensé à la relation de Chasles.
Mais je ne vois pas vraiment comment elle s'applique ici avec des produits vectoriels ?

SI j'ai bien suivi ce que tu annonces avoir fait, tu as calculé MA vectoriel MB, il faudrait peut-être aussi calculer MC vectoriel MD et regardedr pour quels M (donc pour quels (x,y,z)) c'est égal à MA vectoriel MB, tu ne crois pas ?

Pardon, erreur de post.

MC^MD =

x'' = -zy
y'' = x
z'' = x

MA^MB = MC^MD

0 = -zy
-z = x
y = x


Le système mène à x,y et z = 0 ??
J'ai fait une erreur quelque part ou bien l'ensemble est donc M = 0...

J'avoue nager dans l'ignorance mathématique en ce moment

MA^MB = MC^MD <=> MA^(MA + AB) = (MA + AC)^(MA +AD) <=> ...

MA^(MA+(AD+DB)) = (MA +(AB + BC))^(MA+(AB + BD)

Est-ce la bonne direction ? Je ne vois pas comment continuer après cela.
Ou en développant :
MA^MA+MA^AB = MA^MA + MA^AD+AC^MA+AC^AD

AC= AB + BC
AD= AB + BD

MA^AB = MA^(AB + BD)+(AB + BC)^MA+(AB + BC)^(AB + BD)


Je n'arrive pas non plus à arriver au résultat à partir du calcul vectoriel de (MA + AC)^(MA +AD) soustrait à MA^(MA + AB)

MA^AB= 0,z,-y
MA^AC= z,0,-x
MA^AD=-y,x,0

Mon seul résultat notable :
(AB + BC)^(AB + BD)= 1, 0, 0 = AB

Pour la  première étape : (MA+AC)^(MA^AD) <=> MA^AB = MA^(AB - AC) + AC^AD

Comment retrouver MA^(AB-AC) ?
J'ai fait le calcul suivant :

MA^AD + AC^MA = MA^AD - (MA^AC)  = MA^(AD-AC) = MA^(AB+BD-AC)


Je pense avoir retrouvé la 2e étape correctement mais -CB n'apparaît pas.
MA^AB - MA^(AB - AC)
MA^(AB -(AB - AC))
MA^(AC)

3e

MA^AC = -(AD^AC)
(MA+AD)^AC
MD^AC



Merci, je n'aurais pas été jusque là sans votre aide

j'ai peut-être fait une erreur  ::

Oui, merci, je ne voyais pas comment développer les vecteurs sous une autre forme.


AD = AB +BD

MA^(AB-(AB+BD-(AC))
MA^(-BD+AC)

AC= AB+BC
-BD=-BA-AD

MA^(-BA-AD+AB+BC)
MA^(AB +AC -AD)
MA^(AD-BD +AB+BC -AB -BD)
MA^(AD -2BD +BC)
MA^(AD+2DB+BC)
MA^(AC+DB)

....... = MA^(-BD+AC)

Je tourne en rond, je n'arrive pas à réduire à un seul vecteur.
D'ailleurs, je ne voyais pas quoi faire non plus à faire du MD^AC : développer me faisait simplement retrouver les étapes précédentes...

Aussi, comment arriver au bon résultat avec l'autre technique possible, celle d'effectuer le calcul vectoriel ?

c'est incompréhensible .... sans signe =ou <=> ...

Excusez-moi.
Toute la colonne est la même expression transformée par étapes. C'est donc =
La dernière ligne  "....... = MA^(-BD+AC) " montre simplement que je retombe sur le résultat de départ.

MA^MB = MC^MD <=> MA^(MA + AB) = (MA + AC)^(MA +AD) <=> MA^AB = MA^(AD - AC) + AC^AD <=> MA^AB = MA^CD + AC^AD <=> MA^(AB - CD) = AC^AD

on doit encore pouvoir simplifier ... sinon on passe aux coordonnées ....

A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,1,0), D (0,0,1)

MA^(AB - CD) = AC^AD <=> (-x,-y,-z)^(1,1,-1) = (0,1,0)^(0,0,1) <=>(y+z, -x-z, -x+y)=(1,0,0)

y+z=1
-x-z=0
-x+y=0


Il y a trop d'inconnues pour que cela soit solvable non ? Pourtant il n'y a plus qu'un M dans l'équation.  

tu ne sais pas résoudre ce système ?

y+z=1
-x-z=0
-x+y=0


la première expression donne :
y=1-z

je remplace y par 1-z dans la 3eme :

-x+1-z=0
x=1-z

je remplace x par 1-z dans la 2nde :

-1 +z -z = 0
-1= 0 Je sors


Je crois que non...

y + z = 1
-x - z = 0
-x + y = 0

x = y
x = -z
0 = 1

donc pas de solution ...

maintenant il faut voir s'il n'y a pas d'erreur avant ...

MA^MB = MC^MD

<=> MA^(MA + AB) = (MA + AC)^(MA +AD)
<=> MA^MA+MA^AB = MA^MA + MA^AD+AC^MA+AC^AD
<=> MA^AB = MA^AD  - (MA^AC) + AC^AD
<=> MA^AB = MA^(AD - AC) + AC^AD
<=> MA^AB = MA^CD + AC^AD
<=> MA^AB -(MA^CD) = AC^AD
<=> MA^(AB - CD) = AC^AD

Voici le développement avec étapes, je ne trouve pas pas d'erreur

M(x,y,z), A(0,0,0), B(1,0,0), C (0,1,0), D (0,0,1)

MA^(AB - CD) = AC^AD
<=> (-x,-y,-z)^(1,1,-1) = (0,1,0)^(0,0,1)
<=>(y+z, -x-z, -x+y)=(1,0,0)

Produits vectoriels calculés avec un calculateur en ligne pour ne pas faire d'erreur.
On retombe sur :

y+z=1
-x-z=0
-x+y=0

...

Y-a-t-il un problème dans la méthode que j'ai employée ?  
Et d'autres moyens d'essayer de trouver l'ensemble M pour vérifier ce résultat (qui semble étrange) ?

ben non ça semble convenable ....

peut-être qu'il n'y a effectivement pas de solution ....

D'accord ! Je demanderai la correction prochainement pour en être sûr.
Merci, vous m'avez beaucoup aidé

de rien et tiens nous au courant ....

SAns calcul : MAMB est orthogonal au plan (MAB), MCMD est orthogonal au plan (MCD)

on cherche donc les points M pour que les plans (MAB) et (MCD) soient parallèles

Strictement parallèle est exclus, puisqu'ils ont M en commun

reste à voir si on peut trouver M tel que les plans (MAB) et (MCD) soient confondus : les points A,B,C et D n'étant pas coplanaires, c'est mort !

Mais c'est peut-être le sens de la deuxième question : le "ces" renvoie peut-être aux points A,B,C et D, et pas aux éventuels points M à trouver à la première question ? Il serait alors attendu d'interpréter l'absence de solution en terme de non coplanarité des points A,B, C et D.

Merci pour cette autre méthode, plus intuitive avec les plans et je vois maintenant que les deux calculs vectoriels représentent des vecteurs orthogonaux aux plans grâce à votre explication.

C'est bien le sens de la 2ème question je pense ! Qui est résolue en montrant que AB, AC, AD ne sont pas coplanaires (et donc A,B,C,D ne le sont pas non plus).

Cette démonstration est donc valide pour tout point A,B,C,D non coplanaire ?

lafol @ 21-01-2016 à 12:54

MAMB est orthogonal au plan (MAB), MCMD est orthogonal au plan (MCD)

on cherche donc les points M pour que les plans (MAB) et (MCD) soient parallèles

Strictement parallèle est exclus, puisqu'ils ont M en commun

MAB = k(MCD) n'a aucun sens
les plans (MAB) et (MCD) sont confondus si tous les points de l'un sont dans l'autre et réciproquement.
si ces deux plans sont confondus, les points C et D, qui sont dans le second, doivent être aussi dans le premier, qui contient alors A,B C et D : les quatre points A,B,C et D seraient coplanaires. Comme ils ne le sont pas, il n'y a pas de point M tel que les plans (MAB) et (MCD) soient confondus.

D'accord ! Quand vous parliez de plans parallèles, j'avais en fait pensé qu'ils pouvaient l'être en étant superposés (confondus), mais aussi en se touchant simplement par le point M...

Merci à vous

deux plans parallèles qui ont un point commun sont en fait confondus.