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Calcul vectoriel et géométrie analytique
Bonjour !
Exo : Dans un espace de dimension 3 muni d'un répère, soit D la droite d'intersection des plans P1 et P2 donnés par les équations :
P1: x + 2y +3z = 4, P2: 3x - 2y + z = 0.
Trouver les coordonnées d'un vecteur directeur de D et une paramétrisation de D.
Merci d'avance pr vos guides !
Bonsoir,
Une idée comme une autre :
Donne deux valeurs distinctes à z , disons z1 et z2, et considère les équations des deux plans comme des systèmes en x et y.
Ça te donnera un couple de points (x1,x1,z1) et (x2, y2, z2) qui seront tous les deux sur la droite d'intersection.
Après, j'imagine que tu sauras faire 
Des valeurs bien choisies de z peuvent faciliter les calculs par exemple z tel que 3z = 4, et z = 0...
Merci pr votre réponse
Voici ce que j'imagine après : le vecteur formé par ce couple de point sera un vecteur directeur de la droite d'intersection.
Bonsoir,
Une idée comme une autre :
Donne deux valeurs distinctes à z , disons z1 et z2, et considère les équations des deux plans comme des systèmes en x et y.
Ça te donnera un couple de points (x1,x1,z1) et (x2, y2, z2) qui seront tous les deux sur la droite d'intersection.
Après, j'imagine que tu sauras faire
Des valeurs bien choisies de z peuvent faciliter les calculs par exemple z tel que 3z = 4, et z = 0...
Merci pr votre réponse
Voici ce que j'imagine après : le vecteur formé par ce couple de point sera un vecteur directeur de la droite d'intersection.
Oui, absolument !
Il y a une autre solution, mais qui repose sur le concept de produit vectoriel, est-ce que c'est une notion que tu connais ?
Oui, absolument !
Il y a une autre solution, mais qui repose sur le concept de produit vectoriel, est-ce que c'est une notion que tu connais ?
Oui, je la connais.
Oui, absolument !
Il y a une autre solution, mais qui repose sur le concept de produit vectoriel, est-ce que c'est une notion que tu connais ?
Oui, je la connais.
Svp, pr la paramétrisation
je suppose un pt M(x,y,z) tq AM = t AB( AB couple de points de la droite.
Est-ce correct ?
Svp, pr la paramétrisation
je suppose un pt M(x,y,z) tq AM = t AB( AB couple de points de la droite.
Est-ce correct ?
Oui, en disant que AB est un vecteur et non pas un couple de points.
Une autre solution avec le produit vectoriel :
Tu dois savoir que quand un plan est donné par l'équation ax+by+cz = d, alors le vecteur V(a,b,c) est normal (perpendiculaire) au plan.
Soient donc les vecteurs V1 et V2 normaux aux deux plans P1 et P2.
Considère le produit vectoriel W = V1
V2
Que peux-tu en dire ?
Svp, pr la paramétrisation
je suppose un pt M(x,y,z) tq AM = t AB( AB couple de points de la droite.
Est-ce correct ?
Oui, en disant que AB est un vecteur et non pas un couple de points.
Une autre solution avec le produit vectoriel :
Tu dois savoir que quand un plan est donné par l'équation ax+by+cz = d, alors le vecteur V(a,b,c) est normal (perpendiculaire) au plan.
Soient donc les vecteurs V1 et V2 normaux aux deux plans P1 et P2.
Considère le produit vectoriel W = V1
V2
Que peux-tu en dire ?
Je pense que W sera le point d'intersection des 2 plans.
Svp, pr la paramétrisation
je suppose un pt M(x,y,z) tq AM = t AB( AB couple de points de la droite.
Est-ce correct ?
Oui, en disant que AB est un vecteur et non pas un couple de points.
Une autre solution avec le produit vectoriel :
Tu dois savoir que quand un plan est donné par l'équation ax+by+cz = d, alors le vecteur V(a,b,c) est normal (perpendiculaire) au plan.
Soient donc les vecteurs V1 et V2 normaux aux deux plans P1 et P2.
Considère le produit vectoriel W = V1
V2
Que peux-tu en dire ?
Je pense que W sera le point d'intersection des 2 plans.
Le vecteur normal est V(a,b,c) si ns sommes dans 1 repère orthonormé ou bien ?
Svp, pr la paramétrisation
je suppose un pt M(x,y,z) tq AM = t AB( AB couple de points de la droite.
Est-ce correct ?
Oui, en disant que AB est un vecteur et non pas un couple de points.
Une autre solution avec le produit vectoriel :
Tu dois savoir que quand un plan est donné par l'équation ax+by+cz = d, alors le vecteur V(a,b,c) est normal (perpendiculaire) au plan.
Soient donc les vecteurs V1 et V2 normaux aux deux plans P1 et P2.
Considère le produit vectoriel W = V1
V2
Que peux-tu en dire ?
Je pense que W sera le point d'intersection des 2 plans.
Le vecteur normal est V(a,b,c) si ns sommes dans 1 repère orthonormé ou bien ?
W sera un vecteur normal commun aux 2 plans.
Effectivement, les notions de vecteur normal et de produit vectoriel ne sont aisées à utiliser que dans un repère orthonormé.
Si ce n'est pas précisé, alors la méthode des deux points fonctionne.
Si le repère orthonormé, alors tu peux raisonner ainsi :
W est perpendiculaire à V1, donc parallèle à P1, et de même perpendiculaire à V2, donc parallèle à P2. W est donc parallèle à P1 
P2, donc à la droite d'intersection. W est donc un vecteur directeur de la droite d'intersection.
Pour le paramétrage de la droite, il faut toujours un point initial, ce que tu as appelé A, que tu obtiens en fixant une valeur à une des 3 variables x, y , z, et en résolvant le système par rapport aux deux autres valeurs.
Effectivement, les notions de vecteur normal et de produit vectoriel ne sont aisées à utiliser que dans un repère orthonormé.
Si ce n'est pas précisé, alors la méthode des deux points fonctionne.
Si le repère orthonormé, alors tu peux raisonner ainsi :
W est perpendiculaire à V1, donc parallèle à P1, et de même perpendiculaire à V2, donc parallèle à P2. W est donc parallèle à P1
P2, donc à la droite d'intersection. W est donc un vecteur directeur de la droite d'intersection.
Pour le paramétrage de la droite, il faut toujours un point initial, ce que tu as appelé A, que tu obtiens en fixant une valeur à une des 3 variables x, y , z, et en résolvant le système par rapport aux deux autres valeurs.
Bonjour !
J'ai compris, merci bcp 😊
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