Une piste possible:

cos(2Pi/7)

-1 = cos(2Pi) + i.sin(2Pi)

(-1)^(1/7) =  cos(2Pi/7) + i.sin(2Pi/7)

Donc cos(2Pi/7) est la partie réelle d'une des racines 7ème de -1

x^7 + 1 = 0

-1 est solution --> x^7 + 1 est divisible par x+1

On trouve: x^7+1 = (x+1).(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)

x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1 = 0

P(x) = (x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1) est un polynome à coefficients palyndromes.

x = 0 n'est pas solution --> on divise par x³ et les solutions de P(x) = 0 sont donc les mêmes que celles de:

(x³-x²+x - 1+ 1/x - 1/x² + 1/x³) = 0   (1)

Posons x + 1/x = X   (2)

x² + 1/x² + 2 = X²

(x² + 1/x² + 2)(x + (1/x) = X³

x³ + 1/x + 2x + x + (1/x³) + (2/x) = X³

X³ - X² = x³ + 1/x + 3x  + (1/x³) + (2/x) - x² - 1/x² - 2

X³ - X² = x³ - x² + 3x - 2 +  3/x  - 1/x² + 1/x³

X³ - X² - 2X = x³ - x² + 3x - 2 +  3/x  - 1/x² + 1/x³ - 2.(x + 1/x)  

X³ - X² - 2X = x³ - x² + x - 2 +  1/x  - 1/x² + 1/x³

X³ - X² - 2X + 1 = x³ - x² + x - 1 +  1/x  - 1/x² + 1/x³

Qu'on compare avec (1) -->
résoudre (1), revient à résoudre X³ - X² - 2X + 1 = 0 (avec  x + 1/x = X)

On résout X³ - X² - 2X + 1 = 0

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Mais là je manque de courage pour continuer (essayer la méthode de Cardan ?, mais pas sûr que cela ne coince pas).

On a alors 3 solutions pour X,

On trouve alors celles qui conviennent pour x à partir de x + 1/x = X

x² - xX + 1 = 0 et on connait X. -->

x = (X +/- V(X²-4))/2

On aura 6 valeurs de x, on conservera leurs parties imaginaires et on choisira celle qui convient pour cos(2Pi/7)
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Bon courage (mes calculs sont à vérifier).  

Bonjour

Une autre méthode que j'ai vu dans un exo est de procéder ainsi :

poser w=e^(2ipi/7)

poser T=w^3+w^5+w^6 et S=w+w^2+w^4

a) Montrer que T et S sont conjugués,

b) Calculer S+T et ST

c) En déduire S et T

...En pensant au produit de deux nombres complexes conjugués ...

Bon courage !

Philoux

Philoux pour J-P

-1 = cos(2Pi) + i.sin(2Pi)

tu voulais dire +1, je suppose

ça change cependant le raisonnement qui suit (alternance des signes...)

Philoux

Oui Philoux,

C'était +1, et cela ne change que l'alternance des signes ...

Le problème , que l'on emploie la méthode de Cardan ou l'astuce proposée par philoux, c'est que la première équation du second degré sur laquelle on tombe n'a pas de racine réelle, donc la résolution de la seconde équation va comporter le radical d'un nombre complexe,... et on ne sera pas plus avancé: en réalité les fonctions trigo de pi/7, pi/9, pi/11 ne s'expriment pas par les radicaux

Bonjour;
Soit avec la methode de J-P (Correcteur) (réctifiée par philoux) on a que est solution de l'équation et avec le changement d'inconnue on aboutit à l'équation:
une petite étude montre que cette derniére équation admet 3 racines réelles distinctes et vu que on a que
calcul de z_3:
avec le nouveau changement d'inconnue on a que:
et vu que on voit que ie et donc que:
et par suite
Conclusion:

Sauf erreur bien entendu

>Merci elhor (et chapeau)

Comment penser à faire le changement de variable z3=2rac(7)cos(a) ?

Philoux

J'ai l'impression que ça se mord la queue car pour exprimer cos (t/3) en fonction de cost on retombe sur l'équation du troisième degré!

:Très bien pensé Elhor

Je pense qu'il vaut mieux utiliser la méthode de Dichotomie pour donner une valeur approchée à z_3

Je suis désolé de refroidir votre enthousiasme, mais la formule d'elhor est tautologique; en ce cas on peut aussi écrire cos(2pi/7)=2cos(pi/7)^2-1 ou cos(2pi/7)=cos((2/7)arccos(-1))!
On exprime un cosinus en fonction d'un autre cosinus, la belle affaire!
Ce calcul n'aurait un intérêt que si cos(arccos(1/2rac(7))/3) pouvait se simplifier. Or on tombe sur l'équation 4u^3-3u-1/2rac(7)=0 qui a, dans la méthode de Cardan, un discriminant négatif, donc des racines intermédiaires non réelles, dont il faut prendre la racine cubique... ça se mord la queue!

piepalm a raison, à partir du moment où on tombe sur l'équation x³ + x² - 2x - 1 = 0, celle-ci a 3 racines réelles et ses solutions sont alors trouvées via des arccos dont il est impossible de se débarasser dans le cas présent.

Et donc on est amené à exprimer cos(2Pi/7) en utilisant le cosinus d'un autre angle ce qui ne fait pas avancer le problème.

On ne peut pas en sortir.

il me semble que le polygone regulier a 7 cote n est pas constructible avec la regle et le compas,j ai donc des doutes sur la possiilite de trouver cos (2Pi/7)

Les fonctions trigonométriques de (n*pi/7) ne peuvent pas être exprimées en termes de sommes, de produits et/ou de racines de nombres rationnels parce que 7 n'est pas un nombre premier de Fermat. Vous ne pouvez donc pas trouver une formule comme il était question dans les réponses précédentes.
De toute façon, à mon avis, cette recherche était hors sujet, car ce n'est pas ce que Thibs demandait si on relit bien sa question :
« On me demande ici en particulier de trouver la valeur de cos(2pi/7). Comment procéder? »  
« Trouver la valeur » n'est pas la même chose que « trouver une formule ».
Il existe pour cela de nombreuses méthodes de calcul numérique : dichotomie, Newton-Raphson, etc.
On peut aussi utiliser le développement en série :
Cos(2pi/7) = 1-(1/2)((2pi/7)^2)+(1/4 !)( (2pi/7)^4)-(1/6 !)( (2pi/7)^6)+…
qui permet d'encadrer rapidement le résultat avec une précision aussi grande que l'on veut.
Passons sous silence la méthode, très pragmatique, consistant à appuyer sur quelques touches d'une calculette et qui donne :
Cos(2pi/7) = 0,62348980185873353052500488400424…

Bonjour Jean.

bonjour;
On sait que l'angle n'est pas constructible (à la régle et au compat) et par conséquent n'est pas exprimable en radicaux réels,néanmoins la formule que j'ai donné montre que se construit à partir de la trissection d'un angle constructible ce qui n'est pas évident:
considérons la figure suivante (voir image attachée)
on a que l'angle est bien constructible et (vérification facile) d'où à partir de la trissection de cet angle on construit le triangle rectangle en . étant la projection orthogonale de sur on a que
démonstration:
posons dans le triangle rectangle en on a donc:
d'où

et vu que est solution de l'équation il vient que:
c'est à dire que CQFD
Sauf erreur bien entendu

La trisection d'un angle est impossible à faire par construcion à la règle non graduée et au compas.

Sauf si je me trompe.

Oui J-P (Correcteur),je n'ai pas dis le contraire j'ai dis seulement que est constructible à la régle non graduée et au compas à partir de la trisection d'un angle constructible à la régle non graduée et au compas

Question:
Est ce que tous les angles non constructibles à la régle non graduée et au compas peuvent se construire à la régle non graduée et au compas à partir de la trisection d'un angle constructible à la régle non graduée et au compas ?

Autrement dit:
A partir d'une première chose que l'on de sait pas construire (*), on sait conctruire (*) une deuxième chose que l'on se sait pas construire (*).
Génial !!!
(*) = à la règle non graduée et au compas.
Moi, je dirais plutôt :
Si l'on savait construire (*) cette première chose, on saurait alors construire (*) cette deuxième chose. Mais comme on ne sait pas construire (*) cette première chose, on ne sait pas non plus construire (*) cette deuxième chose.

Bonsoir JJa;
j'ai l'impression que je ne me suis pas bien fait comprendre:
pourquoi précisément la trisection ? Est ce la seule opération qui fait que tel ou tel angle ne soit pas constructible ?

Il faudrait plutôt prendre la question en sens inverse :
Les angles ne sont généralement pas constructibles à la règle non graduée et au compas et selon les règles précises d'utilisation de ces instruments définies par les Grecs anciens.
Seulement peu d'angles sont constructibles dans ces conditions.
La question est donc : Qu'est ce qui fait qu'un angle a la particularité d'être constructible?
La réponse a cette question a été donnée grâce aux travaux de mathématiciens, dont Gauss entre autres. Il convient de se reporter à des ouvrages traitant de ce sujet (faire une recherche bibliographique). Pour des généralités, voir par exemple :
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html
Remarque : si on se fixe d'autres conditions que celles définies par les Grecs anciens, beaucoup plus d'angles deviennent constructibles, ceci dépendant grandement des conditions qui doivent être définies très précisément. On connait beaucoup de ces constructions dites "neusis constructions". En particulier, pour le problème de la trisection de l'angle, plusieurs neusis constructions sont connues.

On peut voir un exemple de neusis construction de l'angle 2pi/7 dans :
http://mathworld.wolfram.com/Heptagon.html