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Calculer le rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle
Bonjour,
j'ai réussi à résoudre ce problème de géométrie et j'ai pu vérifier le résultat avec géogébra mais je ne suis pas sûr d'avoir utilisé la bonne méthode. Pouvez-vous m'indiquer s'il y a une autre manière de faire ?
Merci beaucoup !
ABC est un triangle rectangle avec BC = 5, AC = 4 et AB = 3.
Calculer le rayon du cercle inscrit dans ABC.
Je me suis servi de la propriété suivante : la bissectrice intérieure d'un triangle divise un côté en deux segments proportionnels aux deux autres côtés.
Par conséquent, AI/IB = AC/CB = 4/5
Donc AI = 4/3 et IB = 5/3
Ensuite, je me suis servi de Thalès dans le triangle AIC, (HD) étant // à (AI) :
HD/(4/3) = CH/4 donc HD = CH/3
AHD est isocèle (HAD = HDA = 45) donc AH = HD
Donc CH/3 = AH
AC = 4
Donc AH = 1 et CH = 3
Donc le rayon HD du cercle inscrit vaut 1.
Autre chose,
dans cet exercice on demande tout d'abord de calculer les longueurs des segments déterminés sur les côtés par les points de contact du cercle inscrit au triangle PUIS de calculer le rayon du cercle inscrit.
Mais je ne voyais pas comment je pouvais trouver la longueur de ces segments sans calculer d'abord le rayon du cercle inscrit.
Comment est-ce possible ?
Merci beaucoup pour votre aide !
AB*h/2 + AC*h/2 + CB*h/2 = AB*CA/2
h(AB+AC+CB) = AB*CA
h = AB*CA/(AB+AC+CB) = 12/12 = 1
Bonjour,
Il y a deux formules (très) utiles à propos du cercle inscrit dans un triangle quelconque
S = pr où p est le demi périmètre, S l'aire du triangle et r le rayon du cercle inscrit.
et les distances aux sommets des points de contact :
si a,b,c sont les côtés opposés à A,B,C
la distance du sommet A aux points de contact est p-a (p toujours le demi-périmètre) etc cycliquement ...
la première a sa démonstration esquissée par fontaine6140
la seconde n'est pas bien difficile à démontrer non plus, en tenant juste compte que les longueurs des tangentes à un cercle issues d'un même point sont égales.
on fait la somme etc
ton problème qui demandait de calculer d'abord la distance AH = AG relève donc plutôt de cette deuxième propriété.
et ensuite on en déduit (instantanément) r qui parce que le triangle est rectangle est alors égale à cette distance.
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