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Niveau Reprise d'études
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Calculer une loi

Posté par
lytar
24-03-21 à 17:15

Bonjour j'ai un exercice :

X et Y v.a réelles indépendantes de loi exponentielle de paramètre p strictement positif.
Comment calculer la loi de

U = X 1_{X\leq Y}

Je sais que :

F_U (x) = P(X1_{X\leq Y}\leq x)

Et que X et Y suit loi exponentielle de paramètre p strictement positif :

F_X (x) = \int_{-\infty}^x p exp(-pt) 1_{[0,\infty[} dt = 1 - exp(-pt)

F_Y (y) = \int_{-\infty}^y p exp(-pt) 1_{[0,\infty[} dt = 1 - exp(-pt)

Merci

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 24-03-21 à 18:10

F_X (x) = \int_{-\infty}^x p exp(-pt) 1_{[0,\infty[} dt = 1 - exp(-px)

F_Y (y) = \int_{-\infty}^y p exp(-pt) 1_{[0,\infty[} dt = 1 - exp(-py)

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 24-03-21 à 18:32

Bonjour,

Puisque X et Y sont indépendantes, tu connais la densité jointe du couple X,Y.

Il te reste à bien comprendre l'évènement U <= x (tu peux faire un dessin pour le représenter dans le quadrant positif). Ensuite, une petite intégrale à calculer.

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 24-03-21 à 19:28

J'ai compris pour la densité du couple (X,Y) merci

Mais j'ai un peu de mal pour me représenter U <= x
Ce que j'ai compris c'est que lorsque X>Y, alors U = 0 et lorsque X \leq Y, U = X

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 24-03-21 à 23:14

Ne peux-tu pas représenter l'ensemble des couples (s,t) tels que (X,Y)=(s,t) entraîne U <= x  (pour x >= 0) ?

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 07:48

Je ne vois pas trop où vous voulez en venir ?

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 25-03-21 à 09:11

À répondre à la question posée.
La variable aléatoire U est de la forme u(X,Y), où la fonction u est définie par u(s,t)= s si s\leq t et u(s,t)=0 si s>t. Je te propose, pour x >= 0 donné, de dessiner l'ensemble des couples (s,t)  tels que  u(s,t)\leq x.
Vu que tu connais la densité jointe du couple (X,Y), ça devrait t'aider à comprendre comment calculer P(U\leq x), ce que tu cherches à faire.
Maintenant, si la voie que je te propose ne te plaît pas, tu n'es pas obligé de la suivre ...

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 09:23

bonjour, je ne sais pas résoudre l'exercice donc toutes les voies sont bonnes à prendre.
C'est cette phrase que je ne parviens pas à faire : dessiner l'ensemble des couples (s,t)  tels que  u(s,t)\leq x

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 25-03-21 à 09:47

Il s'agit pourtant de compréhension basique. J'ai rappelé comment on calcule u(s,t). Tu te donnes une valeur x, disons x=2 pour fixer les idées. Il s'agit alors de dessiner l'ensemble des (s,t) tels que u(s,t) <=2. Tu peux te limiter au quadrant des (s,t) avec s>=0 et t>=0, vu que X et Y ne prennent que des valeurs positives ou nulles.
Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Peux-tu dessiner l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que u(s,t) <= 2 ?

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 10:19

GBZM @ 25-03-2021 à 09:47

Il s'agit pourtant de compréhension basique. J'ai rappelé comment on calcule u(s,t). Tu te donnes une valeur x, disons x=2 pour fixer les idées. Il s'agit alors de dessiner l'ensemble des (s,t) tels que u(s,t) <=2. Tu peux te limiter au quadrant des (s,t) avec s>=0 et t>=0, vu que X et Y ne prennent que des valeurs positives ou nulles.
Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Peux-tu dessiner l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que u(s,t) <= 2 ?


Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? oui car u(s,t)=0
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ? non car u(s,t)=7
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? non car u(s,t)=3

Le truc c'est que je comprends pas en quoi ça peut m'aider et je ne sais pas dessiner l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que u(s,t) <= 2

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 10:20

Comme indiqué sur le sujet, je suis en reprise d'étude donc même "les choses basiques" peuvent être devenu compliqué par oublie etc .

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 10:30

lytar @ 25-03-2021 à 10:19

GBZM @ 25-03-2021 à 09:47

Il s'agit pourtant de compréhension basique. J'ai rappelé comment on calcule u(s,t). Tu te donnes une valeur x, disons x=2 pour fixer les idées. Il s'agit alors de dessiner l'ensemble des (s,t) tels que u(s,t) <=2. Tu peux te limiter au quadrant des (s,t) avec s>=0 et t>=0, vu que X et Y ne prennent que des valeurs positives ou nulles.
Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ?
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ?
Peux-tu dessiner l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que u(s,t) <= 2 ?


Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? oui car u(s,t)=0
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ? non car u(s,t)=7
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? non car u(s,t)=3

Le truc c'est que je comprends pas en quoi ça peut m'aider et je ne sais pas dessiner l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que u(s,t) <= 2


j'ai dit n'importe quoi !!

Est-ce que pour s=5, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? oui car u(s,t)=0
Est-ce que pour s=4, t=7 on a u(s,t) <= 2 ? non car u(s,t)=4
Est-ce que pour s=1, t=3 on a u(s,t) <= 2 ? oui car u(s,t)=1

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 25-03-21 à 10:36

Ce que je voulais dire en parlant de compréhension basique, c'est qu'il ne s'agit pas ici de choses "à savoir" mais de bien se représenter la situation.
Une petite erreur dans ta réponse pour le cas s=4, t=7 : on n'a pas u(s,t)=7. Peux-tu corriger ?

Ce que je te suggère de dessiner, c'est l'ensemble des valeurs de X,Y pour lesquelles on a U <=  2. L'intégration de la densité jointe de X,Y sur cet ensemble te donnera alors la probabilité que U <= 2.  Après tu pourras remplacer 2 par une valeur x quelconque, tu aras la fonction de répartition de U. C'est bien ce que tu cherches, non ?

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 25-03-21 à 10:38

Nos messages se sont croisés, je vois que tu as corrigé tes erreurs. Courage, tu vas bien arriver à réaliser ce qu'est l'ensemble des valeurs (s,t) de (X,Y) pour lesquelles on a U <= 2 !

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 25-03-21 à 12:04

Ce que je comprends pas c'est comment le dessiner, il n'y a rien d'explicite non? Car vous avez pris des cas précis s=5 et t=3..?

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 25-03-21 à 14:11

Oui, les cas précis étaient pour te faire comprendre comme se calcule u(s,t).

Par exemple, ne saurais-tu pas dessiner l'ensemble des couples (s,t) avec s >= 0, t >= 0 et s <= t ?
Ce que je te demande est juste un petit peu plus compliqué, mais pas beaucoup plus ...

Posté par
verdurin
re : Calculer une loi 25-03-21 à 21:42

Bonsoir à tous les deux.

Pour lytar.
Peux-tu interpréter le schéma ci-dessous ?
Calculer une loi
dans le cadre de la question posée par GBZM ?

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 26-03-21 à 10:15

Je vous avoue que je ne sais pas

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 26-03-21 à 11:27

Nous en revenons à la compréhension basique.
La partie coloriée en bleu sur le schéma de Verdurin représente l'ensemble des (s,t) du quadrant positif tels que s <= t. Le vois-tu ?

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 26-03-21 à 11:30

Non...

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 26-03-21 à 11:48

Vrai, tu ne vois pas qu'un point de coordonnées (s,t) est dans la partie coloriée en bleu si et seulement si s>=0 et t>=0 et s<=t ????

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 26-03-21 à 12:08

je suis complètement perdu, et surtout je n'arrive pas à faire le lien avec l'exercice..

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 26-03-21 à 13:32

Je te rappelle ça :

Citation :
Ce que je te suggère de dessiner, c'est l'ensemble des valeurs de X,Y pour lesquelles on a U <=  2. L'intégration de la densité jointe de X,Y sur cet ensemble te donnera alors la probabilité que U <= 2.  Après tu pourras remplacer 2 par une valeur x quelconque, tu aras la fonction de répartition de U. C'est bien ce que tu cherches, non ?


Est-ce que c'est complètement du chinois pour toi ?
Je te parle de dessiner, parce que c'est la façon dont je me représente une partie du plan. Peut-être que le dessin d'une région du plan ne te parle absolument pas ...  On le dirait, puisque tu n'arrives même pas à te représenter l'ensemble des couples (s,t) tels que 0 <= s <= t.
En tout cas, il te faut comprendre d'une manière ou d'une autre la région du plan formée par les valeurs de X,Y pour lesquelles on a U <=  2. Ça te permettra d'écrire les bonnes bornes d'intégration pour calculer l'intégrale de la densité jointe de X,Y sur cette région.

Posté par
verdurin
re : Calculer une loi 26-03-21 à 18:50

Pour lytar.
Je me demande si tu n'as pas oublié ce message

GBZM @ 24-03-2021 à 23:14

Ne peux-tu pas représenter l'ensemble des couples (s,t) tels que (X,Y)=(s,t) entraîne U <= x  (pour x >= 0) ?

Le couple (s,t) est une réalisation du couple de variables aléatoires (X,Y).
En étant un peu laxiste on peut penser que les axes de mon croquis sont X et Y.
Et la zone bleue correspond à \mathbf{1}_{X\leqslant Y}=0

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 26-03-21 à 23:08

Euh, Verdurin, c'est \mathbf 1_{X\leq Y}=1.

Posté par
verdurin
re : Calculer une loi 26-03-21 à 23:22

Bien sur.

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 28-03-21 à 19:08

Je vous avoue que je suis un peu perdu ^^

Posté par
lytar
re : Calculer une loi 31-03-21 à 10:08

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 31-03-21 à 10:43

Je n'aime pas du tout faire ça, mais je vais faire à ta place puisque tu as l'air totalement incapable de te représenter l'ensemble des valeurs de X,Y pour lesquelles on a U <=2

Calculer une loi

C'est l'ensemble des couples (s,t) de réels positifs ou nuls tels que s>t ou que s <=2.
L'évènement "U<=2" est la réunion disjointe de l'évènement "X<=2" et de l'évènement "X>2 et X>Y" :

\{U\leq2\} = \{X<=2\} \dup\{ X>2 \text{ et }X>Y\}.

La probabilité de U<=2 se calcule donc en additionnant la probabilité X<=2 et la probabilité de (X>2 et Y<X). Cette dernière probabilité se calcule en intégrant la densité jointe fX,Y du couple (X,Y) sur l'ensemble des (s,t) tels que 2<=s et que 0<=t<=s :

\int_0^{\infty}\left(\int_0^s f_{X,Y}(s,t)\,dt\right)\,ds

Je te laisse remplacer 2 par un réel positif x quelconque et mener les calculs.

Posté par
GBZM
re : Calculer une loi 31-03-21 à 10:56

Oups, je corrige ma formule, s varie de 2 à plus l'infini :

GBZM @ 31-03-2021 à 10:43



\int^{\infty}_{\color{\red}2}\left(\int_0^s f_{X,Y}(s,t)\,dt\right)\,ds



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