Niveau Maths sup

Calculs d'arctan

Posté par exilim (invité) 07-10-07 à 22:49

Bonsoir!
Je cherche à calculer
X= arctan(1/2)+arctan(1/5) + arctan(1/8)
mais je ne vois pas où commencer... Je ne peux pas tout passer à la tangente pour prouver une égalité puisque je ne connais pas X, je sens ue je pourrais déduire le arctan(1/8) du arctan(1/2), ais je n'arrive pas à démarrer!
Merci de votre aide.

Posté par re : Calculs d'arctan 07-10-07 à 22:55

Salut

Calcule déjà arctan(1/2)+arctan(1/5) en t'assurant que tu as le droit

Posté par exilim (invité)re : Calculs d'arctan 07-10-07 à 22:58

justement, j'aimerais bien savor comment calculer ces arctan... et apparement j'ai le droit puisque 1/2 et 1/5 sont bien dans R!

Posté par Calculs d'arctan 07-10-07 à 23:02

Bonsoir.

Posons a = arctan(1/2), b = arctan(1/5) et c = arctan(1/8) avec :

- $3$\textrm\fra{\pi}{2}$ < a,b,c < $3$\textrm\fra{\pi}{2}$

Donc tan(a) = 1/2 tan(b) = 1/5 et tan(c) =1/8

$3$\textrm tan(b+c) = \fra{tan(b)+tan(c)}{1-tan(b).tan(c)} = \fra{(1/5)+(1/8)}{1-(1/5).(1/8)} = 1/3$

$3$\textrm tan[a+(b+c)] = \fra{tan(a)+tan(b+c)}{1-tan(a).tan(b+c)} = \fra{(1/2)+(1/3)}{1-(1/2).(1/3)} = 1$

Donc : a + b + c = X = $3$\textrm\fra{\pi}{4}$

A plus RR.

Posté par re : Calculs d'arctan 07-10-07 à 23:04

Bonsoir Raymond

Posté par exilim (invité)re : Calculs d'arctan 07-10-07 à 23:13

OK! MERCI BEAUCOUP!
dans la suite de l'exercice, j'ai démontré que
sin(arctan x) = x/ sqrt(1-x²) et (sqrt=racine carrée)
cos(arctan x) = 1/ sqrt(1-x²)
et il m'ai demandé de simplifier arctan( (sqrt(1-x²)-1)/x ) masi je n'arrive qu'à
arctan( (1-cos(arctan x))/sin(arctan x) ) (ce qui n'est pas très simple)
une idée?