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Niveau Maths sup
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Calculs matriciels

Posté par
Lucie31415
23-08-22 à 19:12

Bonjour, j'ai du mal à commencer mon exercice. Si jamais quelqu'un a une idée de comment aborder le problème je suis à l'écoute.

Voici mon énoncé :
On fixe n\0. On considère la matrice carrée D=(di,j)1i,jn de taille n dont les coefficients sont donnés par :
di,j=\left\lbrace\begin{matrix}i &si\: i=j \\ 0 & si\: i\neq j \end{matrix}\right.

1. Soit M=(mi,j)1i,jnMn(). Pour (k,l)[[1,n]]2, calculer les coefficients (MD)k,l et (DM)k,l des matrices produits MD et DM.

J'ai essayé de me représenter une partie des deux matrices pour avoir une idée générale de ce que pourraient être les formules attendues mais je n'aboutis à rien. Je me dis qu'il faut peut-être que j'utilise cette formule : c_{i,k}=\sum_{j=1}^{p}{\sum{a_{i,j}b_{j,k}}} \; avec\; c_{i,k}=AB avec A=(ai,j)i,j et B=(bj,k)j,k
Mais ce qui me pose problème ici c'est que D et M ont les mêmes dimensions et je n'arrive pas à avancer.

Toute aide est la bienvenue, merci à vous d'avance

Posté par
Mateo_13
re : Calculs matriciels 23-08-22 à 19:17

Bonjour Lucie31415,

quelle est la forme des matrices D ?

Peux-tu regarder ce qui se passe lorsque n=2 ou n=3 ?

Peux-tu deviner ce qui va se passer en général ?

Cordialement,
--
Mateo.

Posté par
Lucie31415
re : Calculs matriciels 23-08-22 à 20:06

Mateo_13 @ 23-08-2022 à 19:17

Bonjour Lucie31415,

quelle est la forme des matrices D ?

Peux-tu regarder ce qui se passe lorsque n=2 ou n=3 ?

Peux-tu deviner ce qui va se passer en général ?

Cordialement,
--
Mateo.


Bonjour Mateo_13,
Je viens de tester avec n=2 et je pense avoir trouvé la formule. Serait-ce ceci : (md)i,j=j*mi,j et (dm)i,j=i*mi,j

Cordialement,
Lucie

Posté par
Mateo_13
re : Calculs matriciels 23-08-22 à 20:57

Je n'ai pas vérifié mais ça me semble plausible.

Si ça marche pour n=3, c'est probablement vrai,
et cela ne doit pas être trop dur à démontrer dans le cas général.

Amicalement,
--
Mateo.

Posté par
Ulmiere
re : Calculs matriciels 23-08-22 à 21:17

J'ai vérifié le calcul et c'est correct il me semble.

Si A est une matrice à n lignes et m colonnes et
si B est une matrice à m lignes et p colonnes

Alors pour tout (i,j)\in [\![1,n]\!]\times[\![1,p]\!] on a

\boxed{(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}}

Applique avec A = M et D_{kj} = j\delta_{k,j}
puis avec D_{ik} = i\delta_{i,k} et B = M

pour retrouver tes formules

Posté par
Lucie31415
re : Calculs matriciels 23-08-22 à 21:31

Merci beaucoup à vous de m'avoir expliqué. Je vais de ce pas appliquer la formule.

Bonne soirée
Cordialement,

Lucie31415



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