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Capes interne

Posté par
superninie
02-12-20 à 11:26

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour le problème suivant?
Problème 1. Géométrie plane et grandeurs, GeoGebra
Vous enverrez les deux fichiers suivants
1) le fichier GeoGebra réalisé
2) votre solution de la question 2 en faisant figurer une copie d'écran de la figure sur le document.
Dans le plan, on considère un quadrilatère ABCD.
Les points I, J, K, L sont les milieux respectivement des côtés [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Faire une figure sur GeoGebra permettant d'émettre une conjecture
a. sur la nature du quadrilatère IJKL
b. sur le rapport des aires de IJKL et de ABCD.
2. Démontrer ces conjectures. Vous pouvez utiliser les outils de votre choix figurant aux
programmes de collège ou de lycée général

J'ai constaté que le rapport des aires est de un demi mais je ne suis pas sûre de la nature du quadrilatère IJKL. J'hésite entre parallélogramme ou losange.

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 02-12-20 à 11:42

Bonjour,

C'est un parallélogramme, c'est le théorème de Varignon :

Posté par
lafol Moderateur
re : Capes interne 02-12-20 à 21:00

Bonjour
dans les outils de collège utilisables, il y a le th de la droite des milieux ...

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 02-12-20 à 21:08

-> lafol, ôte-moi d'un doute ,le théorème de la droite des milieux, est-ce que ça n'est pas tout simplement un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès ? Est-ce que ça mérite vraiment l'appellation de "théorème" ?

Posté par
lafol Moderateur
re : Capes interne 02-12-20 à 21:37

en quatrième ils ne voient que cet aspect là, et c'est seulement en troisième qu'arrive le th de Thalès et sa réciproque

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 02-12-20 à 21:40

Citation :
en quatrième ils ne voient que cet aspect là, et c'est seulement en troisième qu'arrive le th de Thalès et sa réciproque

Merci beaucoup, je ne suis pas enseignant, et je ne maîtrise pas ces subtilités de niveau

Posté par
superninie
re : Capes interne 04-12-20 à 00:29

Bonsoir,
Du coup, j'ai utilise le théorème de la droite des milieux pour prouver que c'est un parallélogramme.
Par contre afin de démontrer que son aire est la moitié de celle du quadrilatère, dois-je utiliser ce que dit le théorème de Varignon  sur son périmètre?
Si oui, je ne vois pas comment.

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 04-12-20 à 07:39

Bonjour,

Pour l'aire on peut d'en tirer seulement avec les propriétés des milieux :
Sur la figure attachée, appelons 0 le point d'intersection des diagonales, et on considère séparément les 4 triangles AOB, BOC, COD, DOA.
Dans chacun de ces "grands" triangles, on considère les 2 petits triangles bleus et la section de parallélogramme vert.
De par les propriétés des milieux, les deux petits triangles bleus ont chacun des côtés qui sont 1/2 de ceux du grand triangle.
Ils ont donc une surface une surface égale à 1/4 du grand triangle.
Il reste donc1 - 2x(1/2) =  1/2 de cette surface pour la section de parallélogramme vert. On répète ça pour chacun de "grands" triangles et c'est fini.
Désolé pour la figure qui est une copie d'écran de Wikipédia, si vous avez besoin je pourrai en faire une "à la main" avec les bonnes annotations...
A moins qu'un expert qui nous lise et qui maîtrise les bons logiciels ne se lance

Capes interne

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 04-12-20 à 07:40

Pardon, c'est 1-2(1/4) = 1/2...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Capes interne 04-12-20 à 12:11

Bonjour,
Je ne suis pas expert
Capes interne

On peut éviter le 1/4 pour les rapports d'aire (je ne sais pas à quel niveau c'est enseigné) :
Les triangles AIR et OIR ont les côtés AR et OR de même longueur et la hauteur issue de I est commune ; ils ont donc même aire.
De même pour les autres petits triangles.

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 04-12-20 à 12:24

Bonjour Sylvieg, merci pour la figure, mais je ne suis pas convaincu par ton raisonnement.
Si je te suis, ça impliquerait que IR est perpendiculaire à AO, ce qui n'est pas le cas général.
Ou alors il y a quelque chose qui m'échappe...

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Capes interne 04-12-20 à 12:26

Les hauteurs ne sont pas tracées.

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Capes interne 04-12-20 à 12:28

De manière générale, dans un triangle, une médiane issue d'un sommet partage ce triangle en deux triangles de même aire.

Posté par
LeHibou
re : Capes interne 04-12-20 à 12:51

OK je comprends mieux, merci !

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Capes interne 04-12-20 à 15:04

De rien



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