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CAPES lecon 15
Bonjour
Je suis en train de préparer le lecon 15 d'oral 1 intitulée "construction du corps Q des rationnels".
Je commence par définir le relation d'équivalence R dans ZxZ* par (a,b)R(a',b') ssi axb'=a'xb.
Et ensuite j'ai un probleme pour definir l'addition et la multiplication dans Q.
Je voulais faire:
On appelle Q l'ensemble quotient ZxZ*/R et on note la classe d'un element (a,b) de ZxZ*
Puis on definit sur Q la relation + par
+
=
Et ensuite montrer que cette définition est juste car + est interne (petite question au passage, loi interne ca veut bien dire que si je prends 2 représentants de la classe j'obtiens le meme resultat?)
fin de ce que je voulais faire
Voila mon probleme:
Il semble que cela ne soit pas rigoureux de définir de definir + si on ne sait pas que la relation ne depend pas du representant. (??)
Donc je cherche comment faire, j'ai trouve une lecon qui dans un premier temps dit que R est compatible avec l'addition dans ZxZ* et le montre
Puis dans une proposition donne la definition de l'addition dans Q et montre qu'elle ne depend pas du representant.
J'ai vraiment du mal car j'ai l'impression que l'on fait 2 fois la meme chose et je ne vois pas en quoi mon raisonnement n'est pas rigoureux.
Si quelqu'un comprend mon probleme (car meme moi au bout d'une heure de reflexion je me mélange les pédales) et veut bien me donner son avis sur la question, je veux bien un peu d'aide.
Bien sur j'ai le meme probleme avec la multiplication!!
Si ca vous interesse la lecon qui suit le raisonnement que j'ai essayé d'expliquer se trouve sur leahpar
Merci d'avance
Tu ne fais pas la même choses
L'addition de deux couples de réels n'est pas l'addition de deux classes d'équivalence. Ca n'est pas si trivial.
Merci bonjour,
Je me remets sur le sujet apres une longue pause et ca permet d'y voir plus clair. Effectivement maintenant je comprends le raisonnement de leahpar.
Mais je n'arrive toujours pas a me convaincre que le mien manque de rigueur. Alors est-ce le cas? Si oui pourquoi?
Et si non, vous me conseillez quoi la premiere ou la deuxieme version?
Bonjour
Tu ne ferais pas une confusion entre les lois + (il y en a 3 notée en utilisant le même symbole) ?
Pour la compatibilité, ce ne serait pas l'addition définie par:
Si
(a ; b) R (a' ; b')
(c ; d) R (c' ; d')
alors
(a ; b) + (c ; d) R (a' ; c') + (b' + d') (ici addition sur les couples du produit Z x Z)
c'est à dire
(a + c ; b + d) R (a' + c' ; b' + d') (ici addition dans Z)
Dans le second cas de l'indépendance par rapport au représentant
Si
(a ; b) R (a' ; b')
(c ; d) R (c' ; d')
alors
(a ; b) + (c ; d) R (a' ; c') + (b' + d') (ici "nouvelle" addition dans Z x Z*)
c'est à dire
(ad+bc ; bd) R (a'd'+b'c' ; b'd') (ici addition dans Z)
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