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Niveau Maths sup
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caractere libre ou pas d'une famille

Posté par
Yosh2
27-03-21 à 22:16

bonsoir
j'ai la famille ( x--> cos(x) , x-->sin(x)) et je dois déterminer si elle est libre ou lie,
le fait que la famille soit compose de fcts me pose quelque problème , en effet peut on donner a x des valeurs particuliers ou bien faut il travailler avec pour tout x?
voici ce que j'ai fait :
soit , dans tq cos(x) + sin(x) = 0 puis (2+2) cos(x+) = 0 et la en donnant a x des valeurs particulières je peux avoir ce produit nul sans que et soit tous deux nuls , donc c'est une famille lie , d'autre part si c'est pour tout x alors il faut avoir et tout deux nuls , donc c'est une famille libre .
pouvez vous m'expliquer quelle est la façon correcte de procéder ?
merci a vous

Posté par
Zormuche
re : caractere libre ou pas d'une famille 27-03-21 à 22:27

Bonjour

Oui, la famille est constituée de fonctions car ici on travaille sur un espace vectoriel de fonctions, certainement celui des fonctions continues de R dans R ou un truc similaire

Se demander si la famille est liée revient à se demander :
s'il existe   \alpha,\beta\in\mathbb{K},\quad \alpha \cos + \beta \sin =0   (en tant que zéro de l'espace des fonctions)

ce qui est équivalent à dire :
s'il existe   \alpha,\beta\in\mathbb{K},\quad \forall x\in\R, ~\alpha\cos(x)+\beta\sin(x)=0   (là c'est le zéro réel)

Posté par
Zormuche
re : caractere libre ou pas d'une famille 27-03-21 à 22:28

\alpha,\beta\in\mathbb{K}  qui ne soient pas simultanément nuls, bien sûr

Posté par
Yosh2
re : caractere libre ou pas d'une famille 28-03-21 à 11:09

bonjour
d'accord alors c'était ma deuxième réponse qui était correcte , la famille est donc libre .
merci a vous



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