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Caractères de Dirichlet

Posté par
tortuefraise 15-01-20 à 16:37

Bonjour,
En regardant une preuve pour le theoreme de la progression arithmétique de Dirichlet, j'ai lu dans deux sources différentes une phrase comme

\text{ceci est une conséquence du fait qu'il existe exactement $ g(p) $ caractères modulo $ q $ tels que $ g(p) = w $ }

où q est un entier naturel, p un entier premier et premier avec q, f(p) l'odre de p dans (Z/qZ)*, g(p) = \frac{\varphi(q)}{f(p)} et w une f(p)-ieme racine de l'unité.

Aucune des deux sources ne donne d'informations supplémentaires (ou du moins je n'en ai pas trouvé) dans le chapitre en question, et il me manque une étape pour comprendre pourquoi cela est vrai.

Il m'est clair qu'un caractère \chi modulo q doit vérifier \chi(p) = w pour une f(p)-ieme racine de l'unité, donc on obtient un homomorphisme de groupe

\{ \chi \mod q \} \to \mu_{f(p)} (\mathbb{C}), \ \chi \mapsto \chi(p)

S'il était surjectif, alors on aurait le résultat en factorisant par le noyau.
Ma question est donc: comment montrer que pour tout w racine f(p)-ieme de 1, il existe un caractère \chi modulo q avec \chi(p) = w.
Je ne sais pas si c'est évident, mais je ne vois pas pourquoi c'est le cas...

Posté par
mokassinre : Caractères de Dirichlet 16-01-20 à 10:27

Bonjour,
Tu sais que G=(Z/qZ)^* est un produit de groupes cycliques. En fonction de cette description tu peux facilement décrire tous les caractères de Dirichlet mod q, en fonction des racines k-iemes de l'unité où k est l'ordre d'un groupe apparaissant dans la décomposition de G.
Cela te donnera le résultat que tu cherches.

Posté par
tortuefraisere : Caractères de Dirichlet 19-01-20 à 21:55

Merci pour votre aide mokassin


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