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Caractérisation barycentrique d un plan
Bonjour à Tous :
S'il vous plait venez moi en aide je ne parvient pas a résoudre cet exercice
:
Soit un plan P et A, B, C des points non alignés de ce plan.
a.Montrer que tout point M de P est le barycentre de :
(A ;a), (B ;b), (C ;c), avec a+b+C=1.
b. Montrer que le triplet (a :b :c) de réels déterminés à la question
a) est unique ; on le nomme couple normé de coordonnées barycentriques
de M dans le repère affine (A,B,C) du plan P.
c.Déterminer, pour chacun des points suivants, le couple normé de coordonnées barycentriques
dans le repère affine (A,B,C) de P :
- Le milieu A' de [BC]
- Le centre de gravité G du triangle ABC
- Le point D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Merci d'avance du fond du cœur
@+++
bonjour
(les flèche des vecteur n'ont pas été mises)
dans le plan P, tu peux prendre le repère (A, AB,AC), par exemple, et
donner les coordonnées du vecteur AM dans ce repère.
Tu as alors M barycentre de (A,1), (B, 
) et (C, 
)
avec 1+ + non nul
Pour finir de répondre à la 1ere question, il te suffit de diviser par
la somme précédente tous les coefficients.
pour la 2eme question, je dois y réfléchir.
pour la 2eme question.
soit M barycentre de (A,a1), (B,b1) et (C,c1) avec a1+b1+c1=1
M ........................(A,a2), (B,b2) et (C,c2) avec a2+b2+c2=1
donc il existe un réel k tel que
a1=k*a2
b1=k*b2
c1=k*c2
en reportant ces égalités dans a1+b1+c1=1, tu trouve que k=1
ce qui montre l'unicité de ces coordonnées.
pour la dernière question je te laisse chercher, si tu as un problème
dis le.
Merci pour votre aide, ne croyez pas que se soit de la mauvaise volontée
de ma part, mais je ne comprend tjrs pas aucune des questions à par
la question deux qui est devenue plus claire
Merci si vous pouvez encore un peut m'aider
@++
Salut Camille !
Ce que Mu te suggère, c'est d'introduire un repère du plan
P
Tu peux prendre par exemple (A, AB,AC) car on te dit que les points
A, B et C ne sont pas alignés.
Dans ce repère, soit (x ;y) le couple de coordonnées du point M ... C'est
aussi le couple de coordonnées du vecteur AM (puisque A est l'origine
du repère).
Bref, puisque AM a pour coordonnées (x;y) dans (A;AB;AC), c'est que
:
AM = x * AB + y * AC
Et donc AM - x*AB-y*AC = 0
D'où AM - x*(AM+MB)-y*(AM+MC) = 0
etc...
Tu obtiens M barycentre de {(A; 
);(B; )
;(C; ) } ... à toi de déterminer les bons coefficents
en continuant le calcul ci-dessus...
Puis, comme le disait Mu, du fait que la somme des coefficients n'est
pas nulle, tu peux diviser chacun des trois coefficients par cette
somme :
Alors M est barycentre de {(A; ');(B; ')
;(C; ') }
avec ' = / ( ++)
Et par définition même, la somme des nouveaux coefficients fait bien
1 --> vérifie-le par un calcul; tu comprendras mieux pourquoi on
a divisé par ++
J'espère que ça t'aura éclairée pour la première question !
@++
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