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Caractérisation borne supérieure

Posté par
jacksparrow
08-12-18 à 15:33

Bonjour,

j'aimerai réaliser un exercice mais j'ignore comment le commencer. Pouvez-vous m'aider ?

Exercice:

Soit A une partie bornée et non vide de . Montrer, en utilisant la caractérisation de la borne supérieure,
                        sup | x - y |(x,y)A2 = sup A - inf A

Je sais juste que la caractérisation de la borne supérieure est :
a A, x a
> 0, b A | x - < b

Posté par
Camélia Correcteur
re : Caractérisation borne supérieure 08-12-18 à 15:46

Bonjour

Il faudra aussi utiliser la définition de l'inf. Prends d'abord pour A un intervalle et regarde bien.

Tu peux supposer pour (x,y)\in A^2 que x < y, ce qui débarrasse de la valeur absolue. Commences par montrer que l'on a y-x\leq Sup(A)-Inf(A), puis tu prends \varepsilon > 0 et tu cherches (u,v)\in A^2 tels que u < v et y-x -\varepsilon < v-u

Posté par
jacksparrow
re : Caractérisation borne supérieure 08-12-18 à 16:21

Je n'ai pas compris. J'aurais dû demander en premier lieu ce qui signifie sup | x - y |.

Lorsque je prend A = [0;5] avec x = 3 et y=4 par exemple cela me donne :
sup(1) = 5-0
sup(1) = 5

Si on peut m'éclairer, ça me rendrait la tâche plus facile car actuellement je suis dans un brouillard absolu.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Caractérisation borne supérieure 08-12-18 à 16:26

Il s'agit de sup(|x-y|) quand x et y décrivent A. On parle du sup d'un ensemble, pas d'un nombre!

Posté par
jacksparrow
re : Caractérisation borne supérieure 08-12-18 à 18:30

On suppose x < y
On a donc,
         sup( y - x )
Or selon la caractérisation de la borne supérieure, sup( y - x ) correspond à :
a A, y-x a
> 0, b A | y-x- < b

C'est tout ce que j'arrive à faire et encore je sais même pas si c'est juste...

Posté par
carpediem
re : Caractérisation borne supérieure 08-12-18 à 18:40

salut

si m et M sont l'inf et le sup de A alors par définition pour tout e > 0 il existe a, b dans A tel que m < a < m + e < M - e < b < M

pour des e > 0 convenable évidemment ... par exemple 0 < e < (M - m)/2 ...

Posté par
etniopal
re : Caractérisation borne supérieure 09-12-18 à 09:20

Soient A une partie  non vide et bornée  de   et B := {  |x - y| │ (x,y) A² }  .
Il est clair que B =  {  x - y │ (x,y)   A² , x   y } et que B est borné .

Pour chaque x soit B(x) := { y │ (x,y)   B }
Soit alors U = { x │ B(x) } .

On a  B =   { x - A │ x U }  .
Pour x dans U soit  f(x) = Sup(x - A) ( qui vaut x - Inf(A) )
Comme Sup(B) = Sup(f)  on a Sup(B) = Sup(A) - Inf(A) .

Posté par
carpediem
re : Caractérisation borne supérieure 09-12-18 à 09:56

que c'est formel donc compliqué ...

ce que propose Camélia et mon complément me semblent largement suffisants

Posté par
Jezebeth
re : Caractérisation borne supérieure 09-12-18 à 12:20

Bonjour

Et puis Sup(f) est douteux. Sup(f(A)) à la rigueur...



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