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Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire

Posté par
TheLantean 03-10-21 à 13:03

Bonjour à tous,

Je bloque sur une partie de cet exercice :

On note E l'espace vectoriel des applications de classe C 2 de R dans R et F l'ensemble des applications polynômiales de degré au plus 2 de R dans R. Déterminer un supplémentaire de F dans E.

J'ai tout de suite pensé au théorème de Taylor avec reste intégral, qui donne dans notre cas, au voisinage de 0 :

f(x) = f(0) + f'(0)x + \int_0^x{(x-t)f^{''}(t)dt}

On aurait donc les ensembles :

F = {\begin{Bmatrix} f \in \R_2[X] / f = \alpha x^2 + \beta x + c \end{Bmatrix}} ; G = {\begin{Bmatrix} g \in C^2(\R,\R) / ? \end{Bmatrix}}

Je mets un ? car dire que :

G = {\begin{Bmatrix} g \in C^2(\R,\R) / g(x) = \int_0^x {(x-t)g''(t)dt} \end{Bmatrix}}

Ne semble pas donner de bon résultats, il me manque donc une partie de la preuve. Ou alors je suis dans les choux et ce n'est pas la bonne manière de procéder...

Merci d'avance pour votre aide,

Lantean

Posté par
Rintarore : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 03-10-21 à 14:01

Bonjour,

tu es sur la bonne voie, on peut s'en tirer avec Taylor-Intégrale, mais il faut penser en terme de petit o. Que peux-tu dire que cette intégrale lorsque tu la divises par x^2 et que tu fais tendre le tout vers 0 ?

Sinon, tu peux regarder f(a+h) = f(a) + ...

Bonne journée

Posté par
TheLanteanre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 03-10-21 à 16:59

Merci de ta réponse !

L'intégrale, divisée par x^2 quand x tends vers 0 vaut 0. On aurait :

f(x) =_{x \rightarrow 0} f(0) + f'(0)x + o(x^2)

Je ne vois pas trop où tu veux en venir...

Posté par
DOMOREACaractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 03-10-21 à 20:28

bonjour,
E est un espace vectoriel et F et un sous espace vectoriel de E de dimension 3
considérons G=E/F l'espace quotient. Ne pourrait on pas dire que si p est le projecteur de E   sur E/F
le supplémentaire de F et l'ensemble des fonctions p(g) dont la dérivée seconde n'est pas constante.

Posté par
etniopalre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 07:30

     Bonjour ,
     " Ne pourrait on pas "  utiliser le fait que les applications  (de E vers )   u : P   (P(0) , v :  P P'(0)  et w : P P"(0)  sont linéaires ?

Posté par
jsvdbre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 09:24

DOMOREA @ 03-10-2021 à 20:28

le supplémentaire de F est l'ensemble des fonctions dont la dérivée seconde n'est pas constante.

Cette démarche me pose un soucis :
f(x) = sin(x) + x² : f'' non constante
g(x) = -sin(x) + x² : g'' non constante
(f+g)(x) = 2x² : (f+g)'' = 4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 10:01

Bonjour,
La citation de DOMOREA est tronquée :

Citation :
le supplémentaire de F et l'ensemble des fonctions p(g) dont la dérivée seconde n'est pas constante.

Posté par
DOMOREACaractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 10:45

bonjour,
Coquille: je voulais écrire :le supplémentaire de F est p(E) c'est à dire l'ensemble des fonctions dont la dérivée seconde n'est pas constante U {0E}
jsvdb dans E/F les fonctions polynômes de dégré \leq 2 sont "nulles", Dans E/F classe de(x--> sin(x)+x²)=classe de (x-->sin(x))

Posté par
jsvdbre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 10:53

Oui ! Ça rend mon intervention caduque ! oubliez ...

Posté par
GBZMre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 10:57

Bonjour,

DOMOREA @ 04-10-2021 à 10:45

le supplémentaire de F est p(E) c'est à dire l'ensemble des fonctions dont la dérivée seconde n'est pas constante U {0E}

Hum, ça ne fait pas un sous-espace vectoriel. Ce n'est sans doute pas ce que tu voulais dire.

Posté par
GBZMre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 12:06

À mon avis, plutôt que de parler du "projecteur de E sur E/F", il serait plus utile de parler du projecteur de E sur F qui consiste à associer à une fonction dans E la partie régulière de son développement limité à l'ordre 2 en 0.
Quel est le noyau de ce projecteur ?

Pour varier les plaisirs, on aurait pu prendre comme projecteur de E sur F l'application linéaire qui envoie une fonction sur la partie régulière de son développement limité en 2021. Ou alors, l'application linéaire qui envoie une fonction f sur la fonction polynomiale de degré 2 qui prend les mêmes valeurs que f en 0, 1 et 2. Ou alors ...

Posté par
jsvdbre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 12:18

DOMOREA @ 04-10-2021 à 10:45


jsvdb dans E/F les fonctions polynômes de dégré \leq 2 sont "nulles", Dans E/F classe de(x--> sin(x)+x²)=classe de (x-->sin(x))

Ah ! mais dans E/F, classe de (x--> sin(x)+x²) n'égale pas classe de (x--> - sin(x)+x²).
Donc en fait, il faudrait mettre dans une même classe tous les x\mapsto \lambda \sin(x) + ax²+bx+c \text{, avec }(\lambda,(a,b,c)) \in \R^*\times \R^3

Je pense qu'avec un tel raisonnement, on ne part pas dans une bonne direction.

Pour faire simple, si on note \{f_i\}_{i\in I} une base de C^2 dans laquelle figure les applications \textbf{1, x} \text{ et } \textbf {x}^2, une base d'un supplémentaire de F est \{f_i\}_{i\in I}-\{\textbf {1,x,x}^2}\}. Ok, là je me suis pas foulé !

Posté par
GBZMre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 14:24

Posté par
DOMOREACaractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 16:06

bonjour,
je voulais dire que E/F est isomorphe au supplémentaire de F, une classe est soit F ,soit la somme d'une fonction de dérivée seconde non nulle et d'une fonction de F

Posté par
GBZMre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 16:32

La considération du quotient E/F n'aide pas beaucoup pour déterminer un supplémentaire de F. Ça ne fait qu'embrouiller les choses, à mon avis.

Et à mon avis aussi, le bon bout par lequel prendre les choses est de déterminer un projecteur de E sur F. Le noyau de ce projecteur est un supplémentaire de F, et réciproquement le choix d'un supplémentaire donne le projecteur sur F parallèlement à ce supplémentaire.
J'ai suggéré plus haut un certain nombre de projecteurs qui font tous l'affaire.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 04-10-21 à 19:06

Bonsoir,
Je propose l'application linéaire qui envoie une fonction f sur la fonction polynomiale de degré 2 qui prend les mêmes valeurs que f en 2020, 2021 et 2022
Plus sérieusement :
Se placer dans "l'espace vectoriel des applications de classe C 2 de R dans R" conduit à chercher dans une direction qui utilise des dérivées.
Alors que l'on peut s'en passer me semble-t-il.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Caractérisation d'espace vectoriel supplémentaire 05-10-21 à 07:59

Bonjour,

Citation :
J'ai suggéré plus haut un certain nombre de projecteurs qui font tous l'affaire.
Le dernier me plait beaucoup, car il permet de déterminer un supplémentaire compréhensible par un élève de terminale ou même de première


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