salut

si la caractéristique de K est m que vaut mx lorsque x est dans K ?

si la caractéristique de K est n que vaut ny lorsque x est dans L ?

quelle est la définition d'un morphisme de corps ?

peut-on trouver f telle que f(x) = y ?

Je suppose que pour la deuxième ligne vous vouliez dire lorsque y est dans L ? Je vais faire comme si c'était le cas dans ma réponse.
Les deux premières questions me laissent perplexes... J'aurais envie de dire que si m est non nul mx=m(1x)=0 car 1 est d'ordre m mais sans conviction et si on prend un élément de L je ne sais pas ce qu'on peut en dire...

phi est un morphisme de corps si phi(xy)=phi(x)phi(y) , phi(x+y)=phi(x)+phi(y) et phi(1)=1

oui bien sûr c'est y ...


si car K = m alors mx = x + x + ... x = 0  (m termes)

si car L = n alors ny = y + y + ... + y = 0  (n termes)

si m <> n et f(x) = y alors mf(x) = my et mf(x) = f(x) + f(x) + ... + f(x) = 0 = f(0)

...

J'ai peut être une piste mais elle ne semble pas aller dans la direction que vous me donnez mais je proposes quand même : Supposons qu'il existe un homomorphisme f:K->L
alors si on pose les uniques homomorphismes g:Z -> K et phi:Z->L on a :
phi=fog(car fog morphisme de Z->L or un tel morphisme est unique). Si on suppose que K et L sont de caractéristiques finis m et n alors nZ=Ker phi = Ker (fog) or Ker(fog) est inclu dans mZ d'où  n divise m or n et m sont premiers donc m=n.  Et si K est de caractéristique nulle (ie: Kerg={0} ) alors  si on note p la caractéristique de L que l'on suppose non nulle on a : pZ=Ker phi = Ker (fog) d'où fog(p)=0 =>g(p) est dans Kerf or Kerf={0} car f est un morphisme de corps d'où p est dans Kerg or ceci est impossible car Kerg={0} et p est supposé non nul d'où si K est de caractéristique nul, L aussi. D'où par contraposé on a le résultat.

Bonjour,

Ce n'est pas une mauvaise idée de considérer les noyaux des uniques morphismes d'anneaux de dans et dans .
Peux tu démontrer que ?

GBZM : ma piste n'est-elle pas valable ?

Tous les chemins mènent à Rome, mais je suis loulouetlilou sur son chemin.

Bonjour, j'ai trouvé ça plus facile à voir si le raisonnement est correct..
Alors essayons.
Si on suppose K de caractéristique nulle on a forcément   et on a or car f est un morphisme de corps donc injectif donc or donc x=0 d'où donc on a égalité des noyaux.
Si on suppose K de caractéristique p premier on a forcément  et on a or car f est un morphisme de corps donc injectif donc or donc d'où   donc on a égalité des noyaux.

Pourquoi distingues-tu les cas pour démontrer que ?

Mais du coup, une fois que j'ai montré ça la question est terminé ou pas ?

Ben réfléchis ! Quel rapport entre et la caractéristique de ?

Mon doigt a dérapé : .

Selon moi c'est suffisant car (p)=ker(Z -> K)=ker(Z->L) => car(K)=p =car(L)

La caractéristique du corps est l'entier positif ou nul qui engendre .

Oui donc c'est suffisant.

Maintenant que j'ai fais cette question, la suivante me pose tout autant de soucis :
Montrer que dans le cas où un homomorphisme f: K->L existe f fixe le sous-corps premier (commun à K et L). On a donc car(K)=car(L)=p.
Pour l'instant j'ai trouvé que K s'injecte dans L donc on peut par abus de langage dire que K est inclus dans L d'où leur corps premier sont égaux. Mais je n'arrive pas à montrer que f fixe ce corps premier...

Quel est le rapport entre le sous-corps premier de et l'image du morphisme ?

Je ne sais pas si ça a un rapport mais dans mon cours j'ai juste que si Ker(Z->K)=(0) et si on note le corps premier de K on a   et par abus de langage mais justement je ne comprends pas pourquoi ? (j'ai bien compris que c'est un abus de langage mais pourquoi inclu dans je comprends l'inclusion  et mais pas  

Et sinon pour votre question, je vous avoues que je suis perdue...

Hola, ça me paraît bien confus !
L'image de dans , c'est le quotient de par le noyau de et c'est donc (isomorphe à) où est la caractéristique du corps (ça fait si ).

Oui oui ça je pense avoir compris, mais je ne vois pas le lien avec le sous-corps premier..

Quelle est la définition du sous-corps premier ?

Le sous-corps premier est le plus petit sous-corps qui contient 1

Autrement dit, le plus petit sous-corps qui contient l'image de .

Ah oui merci j'ai compris !