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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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caracteristique de corps et homorphisme

Posté par
loulouetlilou
08-04-21 à 20:36

Bonsoir. Je suis actuellement devant un exercice d'algèbre que je n'arrive pas à démarrer. Voici l'énoncée:
Montrer qu'aucun homomorphisme f : K -> L n'existe entre 2 corps de caractéristiques différentes.
J'ai pour définition de caractéristiques que c'est le noyau du morphisme de Z dans le corps.
Merci de m'aider, j'ai du mal à comprendre la notion de caractéristiques.

Posté par
carpediem
re : caracteristique de corps et homorphisme 08-04-21 à 20:56

salut

si la caractéristique de K est m que vaut mx lorsque x est dans K ?

si la caractéristique de K est n que vaut ny lorsque x est dans L ?

quelle est la définition d'un morphisme de corps ?

peut-on trouver f telle que f(x) = y ?

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 14:18

Je suppose que pour la deuxième ligne vous vouliez dire lorsque y est dans L ? Je vais faire comme si c'était le cas dans ma réponse.
Les deux premières questions me laissent perplexes... J'aurais envie de dire que si m est non nul mx=m(1x)=0 car 1 est d'ordre m mais sans conviction et si on prend un élément de L je ne sais pas ce qu'on peut en dire...

phi est un morphisme de corps si phi(xy)=phi(x)phi(y) , phi(x+y)=phi(x)+phi(y) et phi(1)=1

Posté par
carpediem
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 14:42

oui bien sûr c'est y ...


si car K = m alors mx = x + x + ... x = 0  (m termes)

si car L = n alors ny = y + y + ... + y = 0  (n termes)

si m <> n et f(x) = y alors mf(x) = my et mf(x) = f(x) + f(x) + ... + f(x) = 0 = f(0)

...

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 14:43

J'ai peut être une piste mais elle ne semble pas aller dans la direction que vous me donnez mais je proposes quand même : Supposons qu'il existe un homomorphisme f:K->L
alors si on pose les uniques homomorphismes g:Z -> K et phi:Z->L on a :
phi=fog(car fog morphisme de Z->L or un tel morphisme est unique). Si on suppose que K et L sont de caractéristiques finis m et n alors nZ=Ker phi = Ker (fog) or Ker(fog) est inclu dans mZ d'où  n divise m or n et m sont premiers donc m=n.  Et si K est de caractéristique nulle (ie: Kerg={0} ) alors  si on note p la caractéristique de L que l'on suppose non nulle on a : pZ=Ker phi = Ker (fog) d'où fog(p)=0 =>g(p) est dans Kerf or Kerf={0} car f est un morphisme de corps d'où p est dans Kerg or ceci est impossible car Kerg={0} et p est supposé non nul d'où si K est de caractéristique nul, L aussi. D'où par contraposé on a le résultat.

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 14:57

Bonjour,

Ce n'est pas une mauvaise idée de considérer les noyaux des uniques morphismes d'anneaux de \Z dans K et dans L.
Peux tu démontrer que \ker(\Z\to K)=\ker(\Z\to K\to L) ?

Posté par
carpediem
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 15:03

GBZM : ma piste n'est-elle pas valable ?

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 15:07

Tous les chemins mènent à Rome, mais je suis loulouetlilou sur son chemin.

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 15:08

Bonjour, j'ai trouvé ça plus facile à voir si le raisonnement est correct..
Alors essayons.
Si on suppose K de caractéristique nulle on a forcément  \ker g=\ker(\Z\to K)=(0) et on a f  \circ g(x)=0 \iff g(x) \in kerf or kerf=(0) car f est un morphisme de corps donc injectif donc g(x)=0 or \ker g =(0) donc x=0 d'où \ker(\Z\to K\to L)=(0) donc on a égalité des noyaux.
Si on suppose K de caractéristique p premier on a forcément  \ker g=\ker(\Z\to K)=(p) et on a  f  \circ g(x)=0 \iff g(x) \in kerf or kerf=(0) car f est un morphisme de corps donc injectif donc g(x)=0 or \ker g =(p) donc x \in (p) d'où  \ker(\Z\to K\to L)=(p) donc on a égalité des noyaux.

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 15:25

Pourquoi distingues-tu les cas pour démontrer que \ker(\Z\to K)=\ker(\Z\to K\to L) ?

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 15:27

GBZM @ 10-04-2021 à 15:25

Pourquoi distingues-tu les cas pour démontrer que \ker(\Z\to K)=\ker(\Z\to K\to L) ?


J'avoue que je ne sais pas trop, mais en effet ça marche sans cette distinction

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 16:34

Mais du coup, une fois que j'ai montré ça la question est terminé ou pas ?

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 16:56

Ben réfléchis ! Quel rapport entre \ker(\Z\to L) et la caractéristique de K ?

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 16:57

Mon doigt a dérapé : \ker(\Z\to K).

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 17:18

Selon moi c'est suffisant car (p)=ker(Z -> K)=ker(Z->L) => car(K)=p =car(L)

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 17:31

La caractéristique du corps K est l'entier positif ou nul qui engendre \ker(\Z\to K).

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 17:36

Oui donc c'est suffisant.

Maintenant que j'ai fais cette question, la suivante me pose tout autant de soucis :
Montrer que dans le cas où un homomorphisme f: K->L existe f fixe le sous-corps premier (commun à K et L). On a donc car(K)=car(L)=p.
Pour l'instant j'ai trouvé que K s'injecte dans L donc on peut par abus de langage dire que K est inclus dans L d'où leur corps premier sont égaux. Mais je n'arrive pas à montrer que f fixe ce corps premier...

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 18:27

Quel est le rapport entre le sous-corps premier de K et l'image du morphisme \Z \to K ?

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 18:40

Je ne sais pas si ça a un rapport mais dans mon cours j'ai juste que si Ker(Z->K)=(0) et si on note K_0 le corps premier de K on a   Z \simeq f(Z) et par abus de langage  Z \subset K_0 \subset K mais justement je ne comprends pas pourquoi  Z \subset K_0 ? (j'ai bien compris que c'est un abus de langage mais pourquoi inclu dans K_0 je comprends l'inclusion Z\subset K  et  K_0 \subset Kmais pas  Z\subset K_0

Et sinon pour votre question, je vous avoues que je suis perdue...

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 10-04-21 à 21:37

Hola, ça me paraît bien confus !
L'image de \Z dans K, c'est le quotient de \Z par le noyau de \Z\to K et c'est donc (isomorphe à) \Z/p\Zp est la caractéristique du corps (ça fait \Z si p=0).

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 13-04-21 à 15:30

Oui oui ça je pense avoir compris, mais je ne vois pas le lien avec le sous-corps premier..

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 13-04-21 à 15:48

Quelle est la définition du sous-corps premier ?

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 15-04-21 à 13:08

Le sous-corps premier est le plus petit sous-corps qui contient 1

Posté par
GBZM
re : caracteristique de corps et homorphisme 15-04-21 à 15:20

Autrement dit, le plus petit sous-corps qui contient l'image de \Z\to K.

Posté par
loulouetlilou
re : caracteristique de corps et homorphisme 17-04-21 à 10:26

Ah oui merci j'ai compris !



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