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Niveau Licence Maths 1e ann
Cardinal d'un ensemble
Posté par Thais13
Bonsoir !
Je bloque sur une question qui consiste à déterminer le cardinal d'un ensemble. C'est un petit peu abstrait pour moi...
Voici le sujet :
Soit E un ensemble à n éléments. Soit C ⊂ E un ensemble fixé avec card(C) = k. On définit X = {(A, B) ∈ P(E)² | A∩B = C}. Donner le cardinal de X .
Voici comment je raisonne :
Pour construire le couple (A,B) ∈ P(E)² tel que A∩B = C, il faut lister les éléments de A et de B. Pour chaque élément x ∈ E, on a 4 possibilités :
x ∈ A et x ∈ B
x ∈ A et x ∉ B
x ∉ A et x ∈ B
x ∉ A et x ∉ B
Donc il y aurait 4^n possibilités.
Mais le problème c'est qu'il me semble que je dois introduire le cardinal de C dans ma solution mais je ne vois pas comment faire...
Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
Bonsoir,
pour commencer tous les éléments de C doivent être dans A et dans B.
On peut donc écrire A=C
A' et B=A=CB' avec les conditions :
C
A'=
; CB'= et A'B'=.
Vois-tu pourquoi ?
Ensuite il faut déterminer combien il y a de couples de parties (A';B') dans E\C, qui est un ensemble a n-k éléments, vérifiant A'B'=.
Puis combien il y a de paires {A';B'} vérifiant cette condition.
Merci pour votre réponse !
D'accord, je ne vois juste pas pourquoi A = B ?
Ensuite, pour déterminer combien il y a de couples de parties (A';B') dans E\C, on peut dire que chaque élément x ∈ E peut vérifier :
x ∈ A' ou x ∈ B'
Donc il y a 2^(n-k) possibilités pour les couples de parties (A';B') dans E\C.
Par contre, je ne vois pas quelle est la différence avec les paires {A';B'}.
Je n'ai pas dit que A=B. C'est le cas pour un couple et un seul : le couple (C;C).
Il y a trois possibilités pour un élément de E\C
-- il est dans A' et pas dans B',
-- il est dans B' et pas dans A',
-- il n'est ni dans A' ni dans B'.
L'histoire des paires vient du fait que j'ai mal lu l'énoncé. 
Merci beaucoup pour votre aide. Je m'arrête là pour l'instant car je viens de me rendre compte que nous n'avons pas encore fait cette partie du programme. Je reviendrai sur ce forum quand nous l'aurons abordé.
A une prochaine fois !
lamentable quand on poste le ""même"" exo ici 
Dénombrement et cardinal
Désolée si vous estimez que les 2 exercices sont semblables. C'est vrai qu'ils appartiennent au même chapitre, mais pour l'exercice de ce fil, il est vraiment plus complexe, je n'ai pas toutes les connaissances pour le résoudre, et je suis vraiment perdue !
L'autre exercice me paraît plus abordable.