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cardinal d'un ensemble
Bonjour,
Je soumets la question suivante ;
soit A, A', B, B' des ensembles. on suppose qu'il existe une bijection f : A' --> A, une injection g : A --> B et une bijection h : B --> B'.
Montrer qu'il existe alors une injection k : A' --> B'.
Dans le corrigé, k est construite par composition de f, g et h (k = f o g o h).
Cependant, la piste passant par la comparaison des cardinaux de A, A', B, B' est-elle jouable ? Elle conduit à un raisonnement du genre :
A et A ' sont équipotents, puisque reliés par une bijection
B et B' sont équipotents pour la même raison
et |A| < |B|, car il existe une injection de A vers B.
d'où l'on pourrait déduire : |A'| < |B'| et finalement conclure à l'existence d'une injection k de A' --> B'.
Je ne suis pas certain de la validité de ce raisonnement, notamment lorsqu'on a affaire à des ensembles infinis.
Merci d'avance pour vos éclaircissements.
bonjour
déjà les cardinaux peuvent être infinis !
d'autre part f o g o h ne va pas de A' dans B' ... et c'est même un non-sens car h arrive dans B' et g part de A... donc goh n'a pas de sens
Bonjour,
Merci pour vos éléments de réponses.
Mes excuses pour l'erreur de saisie du corrigé, qui mentionne k = h o g o f
(et non f o g o h comme dans mon premier post).
Bonsoir,
même avec des ensembles finis il me semble que la proposition :
« si il y a une injection de A dans B alors card(A)<card(B) » est fausse.
On peut considérer par exemple l'application identité dans A qui est bien injective alors que card(A)<card(A) est toujours faux
Il faut remplacer les " < " par des "
".
Bonjour,
Merci pour cette rectification.
Donc, en essayant de reformuler correctement :
soit A, A', B, B' des ensembles quelconques.
On suppose qu'il existe une bijection f : A' --> A, une injection g : A --> B et une bijection h : B --> B'. Montrer qu'il existe alors une injection k : A' --> B'.
A et A ' sont équipotents, puisque reliés par une bijection
B et B' sont équipotents pour la même raison
et card(A) card(B), car il existe une injection de A vers B.
Est-il possible de déduire : card(A') card(B') ,
et finalement de conclure à l'existence d'une injection k de A' --> B' ?
Merci d'avance pour vos réponses.
On peut dire çà.
Mais la justification de la propriété que tu utilises repose sur ce qu'il y a dans ton corrigé.
tu ne peux pas construire une injection avec les applications qui te sont fournies ? ce sera autrement plus convaincant !
Bonjour,
C'est effectivement la solution du corrigé, qui indique sommairement que k = h o g o f.
Mais l'exercice en question est inclus dans un chapitre intitulé "Cardinal d'un ensemble". Cela m'a incité à rechercher une solution s'appuyant directement sur cette notion .
Et je pensais pouvoir construire clairement l'application k à partir d'une comparaison des cardinaux des différents ensembles donnés par l'énoncé.
Mais, compte tenu des éclaircissements fournis par vos différents messages, la construction de k par composition m'apparaît comme une solution nettement plus convaincante.
Je vous soumets le schéma suivant, afin de vérifier si mon impression "d'avoir compris" correspond bien à une réelle compréhension.
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