Carré 345

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Carré 345
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Imod  09-07-20 à 23:24
Bonjour à tous .

Ces derniers temps je me suis posé plein de questions sur les entiers 3 , 4 et 5 dans les carrés et les triangles .

Voici les premiers problèmes avec un carré coupé en quatre parts :

Je ne sais pas si la réponse existe , si elle est unique et exprimable avec des radicaux .

Avec 12 figures il y a de quoi s'occuper alors amusez-vous bien 

Imod
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  09-07-20 à 23:27
Bonjour,

j'ai du rater quelque chose, je ne comprends pas ce qu'il faut faire
 Posté par 
Imodre : Carré 345  09-07-20 à 23:31
Les nombres représentent les aires des différentes parts , il faut trouver la valeur du point d'interrogation.

Imod 
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 00:33
 Cliquez pour afficher

En appelant p,q,r,s, les 4 aires avec pour le premier exemple: p=4; q=3; r=5 et s inconnue

puis z=p+r+s qui est la somme des aires sauf la partie centrale, on a alors pour tous les exemples la relation: 

z²-q²=4rp qui donne à chaque fois une équation du second degré.

Pour la première, on obtient (89) - 9 et pour la deuxième: (76) -8

 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 06:47
Bonjour,

Voilà un exercice qui va nous motiver...
 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 07:12
Bon

j'ai le premier:
 Cliquez pour afficher
 ?=3.647949
 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 07:31
c'est pas ça...

 Cliquez pour afficher
Après vérif le premier cas est ?=0.43398102

 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 07:44
Les 3 premiers ?

Les autres après mon tennis...

 Cliquez pour afficher
0.433981017      0.717797515   1.544004034
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 11:44
Bonjour à tous

sympa ces petits problèmes !

pour le premier :

 Cliquez pour afficher
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 11:49
pour le deuxième :

 Cliquez pour afficher

 Posté par 
Imodre : Carré 345  10-07-20 à 11:53
Bonjour à tous 

La formule donnée par Jarod tue les problèmes assez vite ( essayez de ne pas regarder ) . Je trouve le résultat de la quatrième figure assez surprenant , il y a peut-être une explication par isométrie ou découpage .

Imod
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 11:53
pour le troisième :

 Cliquez pour afficher
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 12:01
effectivement, pour la quatrième :

 Cliquez pour afficher
8
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 12:05
et pour la cinquième :

 Cliquez pour afficher

comme dit Jarod, après ça devient routinier... à chaque fois une équation bicarrée en "a" (le côté du carré) permet de résoudre le problème...
 Posté par 
Imodre : Carré 345  10-07-20 à 12:17
En fait le quatrième dessin s'explique de façon élémentaire :

 Cliquez pour afficher
 
Imod

PS : Matheuxmatou,  nous avons les mêmes résultats .
 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 12:26
Deuxième groupe

 Cliquez pour afficher
8      9.1615    9.798 
 Posté par 
Imodre : Carré 345  10-07-20 à 12:31
@Dpi : tes résultats sont justes , tu n'as pas les valeurs exactes ? Attention , la deuxième partie réserve des surprises 

Imod
 Posté par 
dpire : Carré 345  10-07-20 à 14:57
Fidèle à mon habitude "calculatoire"

En effet dans la vraie vie  qui sait combien vaut 73 

 Cliquez pour afficher
0.433981             0.717798        1.544004

8                                 9.165151         9.79796 

8.26209                 6.520796         6

8                                7.262087           5.520809              
 Posté par 
flightre : Carré 345  10-07-20 à 15:00
salut

 Cliquez pour afficher

ces exercices ne sont pas difficiles ,pour le premier exo si "a" est la valeur des cotés du carré,  on obtient une équation de la forme a4-6a²-80=0 qu'on ramene à U²-6U-80 = 0  en posant a²=U et  dont la racine intéressante est : U=3 + 89  du coup a² =3 + 89

l'aire de la figure à trouver  ce calcul en ecrivant simplement Aire = a² - (3+4+5)= a² -12

soit donc  Aire = a² -12 = 3 + 89 - 12 = -9 + 89
 Posté par 
flightre : Carré 345  10-07-20 à 15:20
suite 

 Cliquez pour afficher
....sans detailler les etapes pour le premier carré de la seconde ligne  je trouve  8 
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 16:32
Pour info, je n'ai pas dépassé le degré 2 dans ma résolution qui m'a conduit à la formule que je propose.
 Posté par 
Sylvieg re : Carré 345  10-07-20 à 16:35
Bonjour,

Merci d'animer Imod 

@jarod128,
 Cliquez pour afficher
Comment as-tu pensé à cette relation miraculeuse que certains qualifient de tueuse ?
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 16:54
 Cliquez pour afficher

En conservant mes notations, et en ajoutant "a" la longueur du coté du carré, "b" celle de la partie en haut à droite et "c" en bas à gauche, on a: 

a²=p+q+r+s   somme des aires

ac=2p

ab=2r         via les aires des triangles

d'où

b=rc/p via les deux dernieres equations

2s=(a-b)(a-c)=a²-ab-ac+bc=p+q+r+s-2r-2p+rc²/p

qui donne p+r+s-q=4rp/a²     en utilisant c=2p/a

et donc z-q=4rp/(z+q)

d'où (z-q)(z+q)=4rp et z²-q²=4rp

CQFD

 Posté par 
Sylvieg re : Carré 345  10-07-20 à 17:17
Merci pour ta réponse jarod128 ; mais...

Je ne demandais pas la démonstration, mais comment avoir l'idée de chercher ce type de formule 
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 17:25
Ah mais au vue de la répétition du même type d'exercice, j'ai juste essayé de résoudre le premier mais en mettant des lettres au lieu des valeurs des aires. J'ai introduit a,b,c ensuite et j'ai essayé de m'en débarasser pour ne garder que mes lettres p,q,r,s. Le z m'est apparu à la fin pour faciliter l'écriture. J'ai donc fait le cheminement écrit avant (j'ai juste ici accélérer quelques étapes)
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 17:26
personnellement j'ai procédé différemment

 Cliquez pour afficher
a = côté du carré

x et y les côtés du triangle rectangle qui n'a pas "a" comme côté.

on obtient toujours alors 3 équations du style

a(a-x) = ...

a(a-y) = ...

xy = 2a² - 24

les deux premières donnent x et y en fonction de a

en remplaçant dans la troisième on obtient du bicarré en "a" ... d'où la valeur de a² et le reste suit.

 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 17:29
précision...

 Cliquez pour afficher
ma troisième équation est pour le cas où on connait l'aire centrale... sinon on connait xy et une fois connu a², l'aire centrale cherchée est a²-12...
 Posté par 
Sylvieg re : Carré 345  10-07-20 à 17:35
@jarod128,

D'accord.

Ce qui est étonnant, c'est de réussir à éliminer toutes les variables "parasites" : a, b et c.
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 17:39
@Sylvieg oui, j'ai été très surpris d'y arriver aussi vite et avec une formule aussi simple.

Du coup, ça m'a coupé l'envie de tous les résoudre.
 Posté par 
Sylvieg re : Carré 345  10-07-20 à 17:42
Tu devrais regarder les derniers 
 Posté par 
jarod128re : Carré 345  10-07-20 à 17:57
Effectivement 
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 18:20
bon alors je continue !

sixième : 

 Cliquez pour afficher
 Posté par 
Imodre : Carré 345  10-07-20 à 18:35
@Dpi pour te taquiner 

 Dans la vraie vie j'ai l'impression de rencontrer bien plus souvent  que 0,33 et  que 1,41 , tout dépend de la façon de regarder les choses : je n'ai pas un tableur ou une calculatrice dans la tête 

Imod
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 18:39
pour la septième...

 Cliquez pour afficher

là par contre je ne trouve aucune solution...

ou alors je me suis gouré et ne ne vois pas mon erreur !
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 18:45
pour les huitième et neuvième

 Cliquez pour afficher
idem... je trouve cela impossible...
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  10-07-20 à 18:51
et pour les trois dernières

 Cliquez pour afficher
idem... pas de solution... j'ai dû faire un plantage mais je ne vois pas où ... !
 Posté par 
Sylvieg re : Carré 345  10-07-20 à 20:35
@matheuxmatou,

Pour une nuit paisible : pas de plantage ; ce que tu trouves est cohérent 
 Posté par 
dpire : Carré 345  11-07-20 à 06:27
>Imod

Tu as sans doute remarqué que ma méthode est efficace:

J'ai donné les  12 bonnes réponses le 10 à  14h57 

Dans la vraie vie, je vois mal un agent immobilier dire à son client :

"Vous avez vu cette magnifique chambre de 9+53 m²  !".

J'admets toutefois qu'en "lycée" ou "Supérieur" cela soit la règle.
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  11-07-20 à 12:04
dpi

j'ai un petit doute sur tes 6 dernières réponses... je pense qu'il n'y a pas de solutions pour celles-ci.
 Posté par 
dpire : Carré 345  11-07-20 à 15:41
>matheuxmatou

Pour les 6 derniers je viens de voir deux paramètres intervertis donc je replanche.

Par contre ton 46 est exact   .
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  11-07-20 à 16:13
dpi ok 

et là je me permets juste d'ajouter que c'est un problème purement mathématiques qu'on ne risque pas de rencontrer dans la vie courante, donc je préfère le traiter en valeurs exactes... et sans calculatrice (sauf pour vérifier tes résultats numériques) 
 Posté par 
dpire : Carré 345  11-07-20 à 16:46
Pas besoin de vérifier les  6 dernières  en résolvant l'aire du triangle central  avec Héron

Il n'y a aucune solution...
 Posté par 
matheuxmatoure : Carré 345  11-07-20 à 17:07
... petit patapon 

(désolé j'ai pas pu m'empêcher  )
 Posté par 
dpire : Carré 345  12-07-20 à 07:39
  Posté par 
Imodre : Carré 345  12-07-20 à 19:25
Parfait pour tout le monde avec un petit bonus pour Jarod 

Imod