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Carré dans polygone

Posté par
derny
08-09-19 à 21:52

Pendant que vous essayez de résoudre « Losange sur une courbe », je me suis dit : « pourquoi ne pas trouver un carré (conjecture) sur une courbe dans un cas concret ». Je me suis donné 5 points que voici pour tracer mon polygone :
A :0-0  B :4-0  C :3-3 D :6-2 E :2-7 (voir croquis)
En fait j'ai trouvé dans ce cas non pas un mais plusieurs carrés. Quelles sont leurs dimensions ?

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 08:59

Bonjour. Le titre n'est pas vraiment approprié. Le carré n'est pas forcément dans le polygone. Les 4 sommets sont sur le périmètre (comme pour le problème du losange).

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 09:09

Merci derny pour cette énigme plus facile
J'en ai trouvé un qui est dedans :

 Cliquez pour afficher

Je ne reviens que ce soir pour la suite.

Posté par
royannais
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 09:52

Bonjour

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Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 10:17

A Sylvieg & royannais

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Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 11:29


J'en ai 3 (dont les 4&6 de royannais mais avec les dimensions ):

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Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 11:53


J'en compte :
2 avec un côté sur AB;
0 avec un côté sur BC;
0 avec un côté sur CD;
1 avec un côté sur DE;
5 avec un côté sur AE.
En fait pour chaque triplet de 3 droite, il existe 3 carrés qui ont un côté sur une droite et deux sommets sur les autres droites. Certains ne seront pas réalisables si on a des segments à la place de droites.

Après il y a moyen d'en trouver avec chaque sommet sur un segment différent.
Par exemple il existe un carré avec les sommets sur AB, BC, DE et AE. Et un autre avec les sommets sur AB, CD, DE et AE.
Je n'ai pas trouvé de carré avec à la fois un sommet sur BC et un autre sur CD.

Ça fait 10 carrés pour moi

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 15:02

Je n'en ai que 9 mais je n'ai pas encore examiné tes propositions.

Posté par
carpediem
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 15:09

salut

je ne suis pas intervenu vu les brillants chercheurs ayant causé mais juste une idée au passage après le msg de LittleFox de 11h53 ... (mais qui m'était venue avant) pour tenter de compter le nombre éventuel de solutions :

je ne sais pas si c'est ce que vous avez fait mais j'ai pensé aux diagonales (qui sont perpendiculaires et de même longueur ce qui est une contrainte très forte) et à regarder où pouvaient se trouver leur extrémités ...

Posté par
royannais
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 15:36

2 configurations supplémentaires ( j'en suis donc à 8)

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Posté par
royannais
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 16:13

et la neuvième

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Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 17:07


royannais Ta configuration (2) est impossible, D est plus haut et du coup le carré sort de la courbe.

Posté par
royannais
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 17:41

Bonjour Littlefox

C'est exact, j'avais mal placé le point D
il semble que cela n'a pas d'incidence sur les autres cas

Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 18:04


Voici mes carrés sur géogébra

Ils sont tous exacts sauf le mauve qui a tous ces sommets sur des segments différents. Je n'ai pas encore trouvé de construction géométrique pour celui là. Dans le cas où un des côtés est sur un segment j'en ai trouvé une

note: il n'y en a que 9, il semblerait que mon dernier carré ne soit pas bon (j'étais censé avoir un autre mauve mais ça ne marche pas).

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 18:27

Sur les 9 il y en a un que je n'ai pas calculé. Je vais m'y remettre.
42/17 et les 3 de 11h29 de LittleFox : OK

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:24

Voici 3 des 9 carrés de côtés (sauf erreur) 42/17
722\sqrt{53}/2337\simeq 2.249
266\sqrt{41}/477\simeq 3.571

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:34

Un 4e dont aucun côté n'est adossé à un côté du polygone.
côté = \sqrt{203785}/128\simeq 3.527

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:43

5e et 6e carré de côtés
42\sqrt{53}/125\simeq 2.446 et 2.8

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:46

Le 7e de côté 266\sqrt{53}/531\simeq 3.647

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:52

Un 8e & un 9e de côtés 42\sqrt{53}/107\simeq 2.858 & 418\sqrt{53}/1457\simeq 2.089

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 20:54

mon dernier (à voir)

Carré dans polygone

Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 09-09-19 à 22:06


On a les mêmes je crois. Pas mal pour les calculs (je n'ai pas vérifié).
Comment as tu construit le 4ème carré ?

Posté par
dpi
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 09:17

Bonjour,

Comme je n'en ai trouvé que 3 je laisse aux ténors

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 09:41

Bonjour dpi,
Oui, tous ces carrés sont un peu décourageants, mais tellement agréables à observer !
Bravo à ceux qui les débusquent \;

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 12:54

Bonjour
LittleFox, pour le 4e je pense que j'ai fait comme toi. Avec Geogebra en tâtonnant un peu pour tracer (pratique avec 2 points à placer les 2 autres étant automatiques) puis en calculant.

Posté par
dpi
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 13:44

Oui;
Je m'étais obstiné sur l'intérieur....

Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 17:40


J'ai trouvé une méthode exacte pour tracer le carré dont les 4 sommets sont sur des segments différents mais elle est franchement tordue.

L'idée est que si l'angle IJG est droit alors l'angle IFG doit faire 45° (angles au centre et inscrit) donc en plaçant le point F je peux trouver le point G et de la même façon le point H. On en déduit I. Ainsi, j'ai déjà 3 sommets du carré sur leur segments respectifs.
On remarque que le 4ème sommet, K se déplace sur une droite. Il suffit donc de calculer deux points de cette droite pour la déterminer (par exemple en plaçant F sur A et B).
A l'intersection de cette droite et de DE nous aurons le bon emplacement de K. Or F est la projection perpendiculaire de K sur AB. En plaçant F de façon à ce que FK soit perpendiculaire à AB, notre carré est bien placé.

Carré dans polygone

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 18:02

Bien vu. Le "truc", c'est de voir que K se déplace sur une droite quand on déplace F sur AB. Il faut bouger F pour que FK soit perpendiculaire à AB. C'est quand même un peu aussi du "tâtonnement" mais c'est bien vu.

Posté par
derny
re : Carré dans polygone 10-09-19 à 18:58

Pour ceux qui n'ont pas calculé parce qu'ils s'imaginent les calculs compliqués, ils se trompent. Dans ce cas, les calculs de géométrie analytique sont simples.
Le principe est le même pour tous les carrés. Je ne sais pas comment LittleFox a procédé mais voici ma méthode  (au préalable j'ai tracé par tâtonnement un carré avec Geogebra) :
_ Etablir l'équation des droites qui portent les côtés du polygone (c'est simple puisque les sommets sont des petits nombres entiers).
_ Je me donne 2 inconnues. La première est l'abscisse du sommet le plus à gauche du carré (sur AE). La 2e est l'abscisse du sommet (voisin) le plus bas. Compte-tenu des pentes des droites du polygone on a facilement les coordonnées des 4 sommets du carré en fonction de ces 2 inconnues.
_ Il nous faut 2 équations donc je reporte les coordonnées de 2 sommets sur les 2 équations des droites qui les portent pour calculer ces 2 inconnues donc les coordonnées des sommets. Il ne reste qu'« un petit coup de Pythagore » pour trouver le côté du carré.

Posté par
LittleFox
re : Carré dans polygone 11-09-19 à 08:16

Au départ c'est du tâtonnements mais une fois la droite qui supporte K tracée en en calculant deux points, on peut placer K exactement à l'intersection de cette droite et DE.

Pour les calculs, je n'ai pas fait du tout pareil. J'ai commencé par remarquer que quand un côté du carré est sur AE et un sommet sur AB, le dernier sommet se trouve sur une droite.
En calculant cette droite puis l'intersection de cette droite avec BC (puis CD et DE) j'obtiens la position exacte de mon carré (un deuxième sommet est la projection sur AE du sommet calculé)

C'est peut-être moins simple que de mettre tout en équation directement ^^



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