Bonjour Dpi

Comme tu me cites dans ton message , je me permets de te demander de préciser la question . Dans mon problème la question était de trouver la valeur minimale de n pour que la construction soit possible . Si on ne limite pas n , il y a une infinité de solutions .

Je te signale aussi que pour la valeur minimale du triangle , il y a 6 solutions .

On peut trouver intéressant de chercher toutes les solutions pour la valeur minimale mais commencer par trouver ce minimum me semble un bon début ( le reste risque d'être un travail de machine ) .

Imod  

Bonjour Imod

Je reste dans le même esprit n doit être minimal pourvu qu'on respecte les conditions .

Dans le cas du carré , vu la longueur totale des bâtons il faut que leur nombre soit congru à 0 ou 7 modulo 8 . Comme chaque côté doit comporter un nombre différent de bâtons , il en faut au moins 10 .  Le premier cas à considérer est n=16 .

Imod

Une particularité qui m'avait échappé , avec 16 bâtons le côté du carré doit faire 14 : il y a un gros problème et je pense qu'il se reproduira souvent ainsi que pour les autres polygones .

Imod

Suite,

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J'ai une solution pour le carré et pour le pentagone

Bonjour,
sauf erreur de ma part

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le plus petit carré est obtenu pour n=23 et son côté mesure 69.
69=23+22+21+3=20+19+18+11+1=17+16+15+14+5+2

>verdurin
Tu es sur la bonne piste mais...

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Il te manque le 4 ème coté . Que tu devrais trouver par élimination

Nous en sommes à
2 solutions pour le carré
1 solution pou le pentagone
1solution pour l'hexagone
1 solution pour l'heptagone

Bonjour,
pour le carré verdurin a trouvé la plus petite valeur de n.

En effet, comme l'a dit imod, n doit être congru à 0 ou 7 modulo 8 et comme il y a au moins bâtons la plus petite valeur est au moins .

Mais à partir de il ne peut pas y avoir un côté avec 2 bâtons puisque .
Il faut donc au moins bâtons et la plus petite valeur est au moins .

Bonsoir dpi.
Le quatrième coté est évident : c'est la somme des nombres restants.
Je conjecture qu'il y a une solution pour tous les k-gones et que presque tous les nombres n vérifiant   conviennent.

Un raisonnement analogue à celui que j'ai fait pour le carré donne la plus petite valeur de n pour un pentagone, valeur qui donne bien au moins une solution :

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n=30

>verdurin
Je parlais du détail soit  pour le 4 ème coté composé de 8 bâtons :
4+6+7+8+9+10+12+13 =69
une fois connu la solution optimale 23;69 on sait qu'il y aura plusieurs détails.
>jandri
Je pense que tu propose donc 30;93

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j'ai une solution 25;65

Bonjour dpi,
tu as parfaitement raison, j'ai éliminé ce cas par erreur : j'ai écrit trop vite quels sont les n qui vérifient la condition n(n+1) multiple de 10 et je n'ai pas vu qu'il y a alors 4 cas pour la congruence modulo 10.

Merci,
J'en suis à l'heptagone ,mais il faut se dire qu'au delà les nombres
progressent très vite...
J'attends des candidats détaillés pour ceux  de l'énoncé.

Comme l'a signalé verdurin,on doit pouvoir continuer pour tous  les k-gones.
Pour ma part je m'en tiens à l'octogone  79;395 que je je vous joins:

Je ne suis pas vraiment intéressé par la recherche du nombre de solutions réalisant le minimum mais celle du minimum est plutôt intéressante . La contrainte principale est car la taille de chaque côté vaut n(n+1)/2c . La contrainte sur le nombre différent de bâtons sur chaque côté n'intervient que pour les petites valeurs de n car en divisant suffisamment chaque bâton et en rassemblant les morceaux autrement la contrainte s'évanouit très vite . La conjecture de Verdurin est clairement un théorème . Pour la recherche du minimum le cadre est bien plus serré car les petits bâtons ne peuvent être utilisés qu'une seule fois pour compléter les côtés . Il n'est pas idiot de chercher le nombre minimum de bâtons pour l'hexagone , l'heptagone , … et de jeter un coup d'œil dans L'OEIS , il serait surprenant que la suite de valeurs obtenues ne soit pas déjà  référencée .
Imod    

Effectivement ,dès qu'on a trouvé le n minimum,il est moins intéressant de chercher toutes les possibilités quoique j'ai trouvé
une méthode pour former  le plus simplement possible la plus "belle"
voici mon récapitulatif .

Suite et fin pour moi
j'ai trouvé n pour le décagone   n=95  coté 456

et j'ai trouvé un n plus petit pour le nonagone  (ennéagone)
soit  n=81 coté 369

Un prolongement possible serait de chercher , s'ils existent , les polygones pour lesquels le placement des bâtons est unique ( aux permutations près ) . Autrement dit , trouver un lot de bâtons de tailles 1 , 2 , ... , n avec lequel ont peut fabriquer d'une seule façon un nombre donné de segments de même taille mais constitués d'un nombre différent de bâtons .

Cà pourrait être un casse tête amusant , même si je pense que  le plus difficile est de trouver le nombre de côtés les valeurs de n associées

Par exemple avec n=3  , il n'y a qu'une façon de fabriquer deux bâtons de même taille {1,2} et {3} . Mais bon ça ne forme pas un polygone et la recherche n'est pas vraiment passionnante .

Imod

Pour ceux déjà trouvé ,le n minimum ne correspond qu' à une
seule répartition  de bâtons:
par exemple pour le pentagone  n=25 et la répartition  3 4 5 6 7.

J'ai une méthode pour trouver (voir hendécagone) *
Ensuite pour les"détail" ,on ne devrait s'intéresser qu'à la distribution la plus" belle".

*promis j'arrête là

Ma question ne devait pas être claire . Quand je parle d'unicité , je veux dire qu'aux permutations près , la façon de fabriquer les côtés doit être unique . Par exemple si on a les bâtons 3 et 7 sur un côté et 4 et 6 sur un autre , en basculant ses bâtons d'un côté à l'autre on obtient une nouvelle disposition . En fait il y a tellement de souplesse dans ces échanges que je pense que la solution ne sera jamais unique .

Imod