Bonjour

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euh, je trouve des tonnes de solutions, qu'elles soient strictes (aucun nombre en double) ou non.
Premières solutions trouvées
solution n° 1 : non stricte
8 128 1 85
187 8 26 1
1 85 103 33
26 1 92 103

solution n° 7444 : stricte
8 126 3 85
184 10 27 1
4 84 101 33
26 2 91 103

j'en suis à plus de 74324  strictes, 62177  non strictes
J'ai loupé kek chose dans l'énoncé ?

Merci d'animer

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Bonjour et merci d'animer

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Il y a certainement plusieurs solutions, j'en retiens une en particulier dans laquelle apparaissent les séries 8,9,10;11 puis 25,26,27,28 puis 82,83,84,85 et enfin 101,102,103,104 ce qui donne

   8      27    102     85
104    82      10      25
  84    101     28       9
  26      11      82    103

rectificatif :Encore une faute de frappe

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     8        27      102        85
104       83       10          25
   84     101       28           9
   26      11         82       103

Bonjour royannais, et merci de participer.
Je cherche à trouver un moyen de "générer" les solutions ; dans ce but j'ai regardé les réponses.

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La diagonale avec 8 donne 221

Mais je retiens l'idée de chercher des entiers consécutifs

Ok

Sylvieg et javatasmanie vous avez des doublons, ce qui est exclu
royannais ton carré est satisfaisant, mais ce n'est pas le mien
je donne quelques indices que sans doute j'aurais dû donner d'entrée
on prend 4 séries de 4 nombres de raison 6 et le dernier nombre d'une série a une différence avec le premier de la série suivante qui n'est pas 6, mais pour la 1 ère série et la seconde la différence est 7 de même que pour la 3 ème et la 4 ème, celle entre la 2 ème et la 3 ème est différente (je l'indiquerai si vous bloquez) pour vous aider, vous pouvez consulter mon site chapitre carrés à séries discontinues. A ce propos le carré de  royannais m'amène à réflexion.

Le doublon m'avait échappé
Je vais reprendre dans l'après midi

Seconde tentative :

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Merci pour ce problème mijo mais il y a beaucoup trop de solutions.

Je considère les carrés magiques comportant 16 nombres entiers strictement positifs différents tels que les lignes, les colonnes et les deux diagonales principales soit 222 et que les coins soient 8, 26 et 85 et 103 disposés comme sur le dessin.

J'obtiens 13.571.756 solutions... Ça m'étonne que Royannais n'ait pas le même que mijo

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Chaque solution peut s'écrire sous la forme :

8       a               129-a           85
b       (333-a-b-c-d)/2 (111-b-d+a+c)/2 d
188-b   (111+b+d-a-c)/2 (a+b+c+d-111)/2 34-d
26      c               93-c            103

avec 2x = 333-a-b-c-d. Les autres contraintes viennent du fait que chaque terme doit être plus grand ou égal à 1.

Une solution parmi littéralement des millions :

  8   1 128  85
102  79  18  23
 86  93  32  11
 26  49  44 103

def solve():
    count = 0
    for a in range(1,129):
        for c in range(1,93):
            for  d in range(1,34):
                for b in range(max(1,a+c-d-109,113-a-c-d),min(188,110+a+c-d,332-a-c-d)):
                    x = 333-a-b-c-d
                    if x%2 != 0:
                        continue
                    x //= 2
                    if len(set((8,a,129-a,85,b,x,222-b-d-x,d,188-b,222-a-c-x,a+b+c+d+x-222,34-d,26,c,93-c,103))) == 16 :
#                        print(8,a,129-a,85)
#                        print(b,x,222-b-d-x,d)
#                        print(188-b,222-a-c-x,a+b+c+d+x-222,34-d)
#                        print(26,c,93-c,103)
#                        print()
                        count += 1
    return count

Merci pour ce problème intéressant

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Je propose les 4 séries suivantes de raison 6
8,14,20,26, puis 33,39,45,51,puis 60,66,72,78 et 85,91,97,103
ce qui donne :
   8    91   97    26
  51   72   66   33
  78   45   39   60
  85   14   20   103
Il y a peut-être d'autres solutions qui contiennent 4 séries de 4 nombres de raisons différentes

remarque supplémentaire

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A une symétrie près on retrouve une ressemblance avec le carré de Dürer

Sylvieg et LittleFox
Vous me laissez perplexe
les séries de nombres sont les suivantes :
8     +7   33   +9   60   +7  85
14            39            66           91
20            45            72           97
26            51            78         103
raison de chaque série 6
pour la seconde 26+7=33, la 3 ème 51+9=60, pour la dernière 78+7=85
je pensais qu'il fallait avoir une symétrie entre +7    +9     +7
mais au vu du carré de royannais, j'ai un doute
reste à organiser les nombres pour obtenir la somme magique de 222
et peut-être que là le nombre de solutions est bien inférieur à 13.571.756 !

encore une erreur de ma part:
Je n'ai pas recopié le bon tableau mais son symétrique par rapport à la diagonale descendante

royannais
Oui j'ai indiqué la position de 4 nombres pour réduire un peu le nombre de solutions, mais bravo tu avais trouvé les bonnes séries
à remarquer que la somme des deux nombres placés dans les diagonales on une somme de 222/2=111 (8+103=111 et 85+26=111)

Sylvieg
Tu devrais utiliser le logiciel Microsoft Excel qui doit être sur ton ordinateur, comme ça ce dernier te donne la somme avec
car ta première ligne et première colonne ont une somme de 163

@mijo,
En quoi je te laisse perplexe ?
Sinon, je pense aussi que le nombre de solutions est bien inférieur à 13.571.756. Les nombres trouvés doivent être distincts et positifs.

Heu... là c'est moi qui suit perplexe ; je crois bien que ma première ligne et première colonne ont une somme de 222

Quant à mon carré d'hier, je viens devoir que j'avais "imité" royannais avec un coquille. Le voici :

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Une coquille de coquille

Sylviegj'ai dit que ça me laissais perplexe parce que la liste des nombres n'ont pas la raison 6 mon post du  15-01-18 à 11:46
ta liste est dans l'ordre croissant 8, 16, 18, 26 ,44, 49, 52, 54, 57,  59, 62, 67, 85, 91, 97, 103
Pour en terminer voici les solutions fournies + la mienne colonne de gauche

Sylvieg
Excuses,  j'ai fais des erreurs de recopie de ton carré

D'accord, je n'avais pas lu les aides.
Je redonne mes deux carrés, car il y a une coquille (décidemment !) au dessus :



Il y a une autre coquille dans l'avant dernier carré : 26 et 85 sont inversés.

Pas de problème

Une forme générale qui ressemble à celle de LittleFox, mais sans division par 2 :

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En effet, il y a beaucoup de façon d'écrire cette forme générale.

J'ai réécris mon programme en utilisant la forme générale de Sylvieg.
Mais encore une fois j'obtiens des millions de solutions et oui, mes nombres sont des entiers distincts strictement positifs.

J'obtiens 13.550.160 solutions (toutes différentes). Je ne m'explique pas la différence de 21.596 solutions, trouvez l'erreur .

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def solve():
#    count = 0
    solutions = []
    for a in range(1,129):
        for b in range(1,187):
            for d in range(1,34):
                for k in range(max(-55,56-b-d),min(55,166-b-d)):
                    if a-b-d <= 2*k <= 91+a-b-d:
                        g = (8,a,129-a, 85, b,166-b-d-k,56+k,d,188-b,55-k,b+d+k-55,34-d,26, b+d+2*k-a+1,92+a-b-d-2*k,103)
                        if len(set(g)) == 16 and all(x >= 1 for x in g):
                            solutions.append(g)
#                            count += 1
#                            print(8,a,129-a, 85)
#                            print(b,166-b-d-k,56+k,d)
#                            print(188-b,55-k,b+d+k-55,34-d)
#                            print(26, b+d+2*k-a+1,92+a-b-d-2*k,103)
#                            print()
    return solutions
    
solutions = solve()
print(len(solutions))
print(len(set(solutions)))

Et non je n'ai pas utilisé les séries discontinues de Mijo. En même temps ça ne se fait pas de changer l'énoncé en pleine résolution.

Bonjour   Sylvieg
Tes 2 derniers carrés sont bien solution de carrés magiques de somme 222, mais mon énoncé parlait de séries de nombres, ce qui n'est pas le cas dans tes 2 solutions.
Peut-être que le terme série a prêté à confusion, j'aurais peut-être dire suite. Pour moi une série comporte un ordre ou raison qui est 1 pour une suite naturelle mais qui dans le cas considéré est 6, que j'aurais peut-être dû indiquer dans mon énoncé.
Dans mon site carrés magiques, au chapitre carrés à séries discontinues, tu comprendrais sûrement mieux dans quel esprit cela a été fait.
Mais je ne peux que te féliciter pour le travail que tu as fourni.

@LittleFox,
D'où vient le 21.596 ?

Pour le fun, une forme qui permet de trouver un peu plus de 50 carrés solutions :

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@mijo
Je viens de voir ton message. Oui, le mot série ne m'avait rien évoqué d'autre que trouver 12 entiers naturels.
Le mot suite sans arithmétique derrière n'aurait pas été plus clair pour moi !

De toutes façons, je me suis bien amusée

Sylvieg
Je devrais sans doute réfléchir plus avant de libeller mon énoncé.
Si tu as pris plaisir à trouver des solutions, j'en suis ravi. Les carrés magiques c'est un peu mon dada !

@Sylvieg 21.576 est le nombre de solutions que j'ai trouvé en plus avec ma forme généralisée par rapport à avec ta forme généralisée. J'aurais du trouver le même nombre, ce n'est pas le cas. Allez savoir pourquoi

Depuis, j'ai un peu amélioré ma forme en remplaçant 56+k par f :

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Moi j'aime bien cette forme ci (pas de division, les variables représentent une case de la grille ce qui donne 4 domaines (les plus petits possibles) et 4 contraintes):

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8               a           129-a       85
333-a-c-d-2x    x           a+c+x-111   d
a+c+d+2x-145    222-a-c-x   111-x       34-d
26              c           93-c        103

Bonjour,

Pour  aller de 8 à 103 je trouvais une  raison de 6.1/3
Comme il faut des nombres entiers, je présume qu'il y a
des sauts pour retomber sur  26 et 85.

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dpi
Tu as bien vu, effectivement il y a des sauts entre les séries de 4 nombres
Je vais me creuser la tête pour essayer de trouver des problèmes à solution unique , mais dans le domaine des carrés magiques, avec les permutations de lignes de colonnes, des rotations et symétries ce n'est pas évident. Il va me falloir imposer des contraintes bien précises.