*leur somme a+b

*** message déplacé ***

SVP personne ne peut m'aider ??

*** message déplacé ***

Bonsoir à tous,

j'ai un exercice pour demain et je bloque sur une question :

Montrer que le PGCD d de deux nombres a et b divise aussi leur somme a + b.

(Cette question fait partie d'un exo sur les nombres premiers, je suppose qu'il faut s'en servir ?)

Bonsoir

Si d divise a et b, alors il existe deux relatifs k et k' tels que a=dk et b=dk'
ainsi :
a+b=dk+dk'=d(k+k')

d divise donc bien a+b


Jord

salut
soit d=pgcd(a,b)

d|a => il existe k dans Z tel que d*k=a
d|b => il existe k' dans Z tel que d*k'=b

donc d*k+d*k'=a+b=d*(k+k')

comme k+k' est dans Z d |(a+b)

Au passage, ce n'est pas vraie que pour le pgcd de a et b, c'est vrai pour tout leurs diviseurs commun


Jord

Minotaure, que représente les | ?

ça veut dire "divise".

Ah ok merci.
Les deux méthodes (celle de Minotaure et celle de Nightmare) sont équivalentes ?

Si tu les avais comprise toute les deux tu n'aurais pas posé cette question ...

Application : trouver tous les couples de nombres entiers dont la somme est 1680 et le PGCD est 210.

Je suppose qu'il faut faire la liste des multiples de 210 non ?

Je n'ai pas compris celle de Minotaure.

Qu'est-ce que tu n'as pas compris dans la méthode de minotaure ?

comme k+k' est dans Z d |(a+b)

Pourquoi est ce que comme k+k' est dans Z on peut affirme que d divise (a+b) ?

C'est la définition de la relation de divisibilité :
a divise b si et seulement s'il existe un entier relatif k tel que b=ka


Jord

Huuum... je crois comprendre maintement pourquoi tu as dit que si j'avais compris les deux je n'aurais pas posé la question : toi et Minotaure avaient fait de la même façon non ?

Exactement

modulo les notations bien sur

Pardon ?

Je réitére :

Aux notations prés


Jord

Ah ok je suis un peu ... parfois, faut m'excuser.

Sinon pour : trouver tous les couples de nombres entiers dont la somme est 1680 et le PGCD est 210.

Il faut bien faire la liste des multiples de 210 ?

210 (comme tout nombre) admet une infinité de multiple donc tu vas avoir du mal


Jord

Non je voulais dire la liste des premiers multiples de 210 et faire la différence de 1680 et chaque multiple jusqu'à trouver un couple dont les deux seraient multiples de 210 non ?

J'écrirais plutot :
Il existe a' et b' entiers et premiers entre eux tels que a=210a' et b=210b'

Ainsi on est amené à résoudre :



Jord

Pourquoi a'+b'=8 ?

car a'+b'=1680/210=8


Jord

Et PGCD(a',b')=1 car ils sont premiers entre eux ?

Oui


Jord

Je ne vois pas comment on peut résoudre le système. En fait, ne n'en ai jamais résolu avec un PGCD dedans...

a et b sont entiers naturels ou relatifs ?


Jord

Naturels.

Dans ce cas là il te suffit d'écrire tout les cas possibles de couple d'entiers dont la somme et 8 (il n'y en pas beaucoup) et de retenir ceux dont le PGCD des deux entiers est 1


jord

Par exemple , le couple (1;7) convient car 1+7=8 et PGCD(1,7)=1

Attention tout de même, (1;7) n'est pas une solution au probléme, car là on a trouvé un couple (a';b'), mais c'est (a;b) qu'on veut nous


Jord

couples d'entiers dont la somme est 8 :8+0 ; 7+1 ; 6+2 ; 5+3 ; 4+4.

ceux dont le PGCD est 1 : 7+1 ; 6+2 ; 5+3. C'est bien ça ?

oui

Les solutions sont donc (210;1470) , (420;1260) , (630;1050).
C'est ça ?

Euh j'ai pas trop le courage de faire les calculs de tête mais je pense que c'est bon


Jord

Merci beaucoup Jord, surtout de ne pas m'avoir dit directement la réponse que j'aurais alors bêtement recopié sans en avoir compris le moindre mot

Pas de probléme, heureux que tu aies réussi à faire ça seule

Merci encore Jord.
Bonne nuit