Bonjour, je reviens de nouveau avec un problème sur les multiples/diviseurs...
( je prépare le CRPE)


Pour carreler une pièce rectangulaire mesurant 4.18 m sur 5.67 m un carreleur
propose deux types de modèles de dalles carrées.

    Le 1er modèle a 29 cm de côté et coûte 2.3€ l'unité.

Avec ce modèle, il n'utilise que des dalles entières et il complète avec du joint autour de chaque dalle.

a) Calculer le nombre maximal de dalles que l'on peut poser dans la largeur de la pièce.

PGCD (567;418) = 1

418 / 29 = 14,4 . Il y a donc 14 dalles au maximum dans la largeur

b)Calculer le nombre maximal de dalles que l'on peut poser dans la longueur de la pièce.

567/29 =19,5. Il y a donc 19 dalles au maximum que l'on peut poser dans la longueur


c)Les joints autour des dalles auront-ils tous la même largeur ? Si oui, quelle est cette largeur ?

Dans la longueur : Soit n le nombre de dalles nécessaires et (n+1)  le nombre de joints ( on met bien du joint entre chaque bordure du carré? ). On cherche x la quantité de joint ( en cm )
29*19 + x(19+1) = 567
551+20x = 567
20x=16
x= 0,8 cm

Dans la largeur: Soit n le nombre de dalles nécessaires et (n+1) le nombre de joints. On cherche x la quantité de joints
29*14+15x = 418
406+15x = 418
15x=12
x= 0,8

Donc les joints auront la même largeur


Voila ce que j'avais fait en premier, plus spontanément ( et ça me semble pas dénué de sens ...   

19*29 =551 cm. Or la longueur du rectangle fait 567cm,   il manque donc 6cm dans la longueur

14*29 =406cm . or la largeur du rectangle fait 418cm, il manque donc 12 cm dans la largeur

Du joint est utilisé autour de CHAQUE dalle (énoncé)
dans la longueur, il y a 19 dalles
6/20joints = 0,3cm

Dans la largeur il y a 14 dalles
12cm/15joints  =0,8cm de joint

2)Le second modèle a 36 cm de côté et coût 3.1€ l'unité.
Avec ce modèle là, il est préconisé d'utiliser des joints de 0.6 cm et le carreleur est alors dans l'obligation de couper des dalles. Les découpes ne sont pas réutilisées. Calculer le nombre de dalles nécessaires.

Soit n le nombre de dalles nécessaires dans la longueur
567 = 36*n + 0,6 (n+1)
567 = 36n +0,5n +0,6
567 =36,5n +0,6
36,5n =566,4
n = 15,5 dalles
Il en faut donc au moins 16

Soit n le nombre de dalles nécessaires dans la largeur
418 = 36n + 0,6(n+1)
418 = 36n +0,6n + 0,6
418= 36,6n+0,6
417,4=36,6n
n = 11,4 dalles
il en faut donc au moins 1

3)Quel sera le choix le moins coûteux pour l'achat des dalles.

28 dalles *3,10 euros = 86,8 euros

dans le 1er modèle : 33*2,3 = 75,9 euros. C'est celui ci le plus économique



Sinon, mobiliser le  PPCM ou le PGCD dans un problème me pose problème :

Si on m'avait demandé :

On a un rectangle de 567cm de longueur et 418cm de largeur. On souhaite placer le maximum de carrés dans la longueur et dans la largeur. ---> on calcule  le PGCD de 567 et 418cm --> c'est 1. Mais j'imagine que c'est toujours 1 peu importe les dimensions du rectangle ? (à partir du moment où le côté du carré doit être un nombre entier)

Si on me demande le nombre minimal de carrés que l'on peut placer  dans la longueur et dans la largeur ? , on calcule le PPCM  ou le PGCD ?
j'imagine que c'est le PPCM car ici le PGCD est 1..
PPCM de 418 et 567 = 3^4 * 7 * 2 *11 * 19 =237006 ???

SI on me demande la valeur minimale du côté de carré --> PPCM ( mais ça correspond au diviseur le plus petit non ? )
SI on me demande la valeur maximale du côté du carré --> PGCD


Merci, j'espère que vous pourrez m'éclairez

Bonne soirée à vous

Ana