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Cas des suites monotones

Posté par
rom5483
27-11-18 à 21:09

Bonsoir,

J'ai des difficultés à résoudre un exercice sur les limites et les suites, pourriez-vous m'aider ?


Énoncé :

Soit la suite u définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n,
Un+1 = Un2 + 3Un + 1.

1) Justifier que pour tout entier naturel n, Un>= 0.
      En déduire que la suite est croissante.

2) On suppose que la suite u est majorée.
      Déterminer dans ce cas la valeur de sa limite.

3) Que peut-on en déduire ?


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mes réponses :

1) Un+1 - Un = Un2 + 3Un + 1 - Un
                              = Un2 + 2Un +1

     or Un2 + 2Un + 1 > 0
     et U0 = 0

     donc Un >= 0 et (Un) est une suite croissante.


2) (Un) est une suite convergente et majorée, donc elle est convergente
     d'après le théorème de convergence monotone.
     On pose l la limite de (Un).

     lim-> +∞(Un) = l et lim-> +∞(Un+1) = l

     or Un+1 = Un2 + 3Un + 1
     donc lim-> +∞(Un+1) = l2 +3l + 1

     La limite d'une suite est unique donc : l=l2 + 3l + 1
                                                                                <=> l2 + 2l + 1 = 0

     Puis avec la méthode du discriminant je trouve : l = -1.


3) ?


Est-ce que tout ce que j'ai fait est faux ?
Que faut-il répondre en 3) ?

Merci d'avance !

Posté par
Zormuche
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:13

Bonjour

1) La suite est croissante
2) La suite est majorée

donc?

Posté par
rom5483
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:15

Elle est bornée alors

Posté par
rom5483
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:15

Convergente pardon*

Posté par
Zormuche
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:17

Ah non je me suis trompé

As-tu remarqué la contradiction trouvée dans la partie 2)?

Posté par
rom5483
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:19

Oui justement, tout est faux alors ?
Si oui comment procéder s'il vous plait ?

Posté par
alb12
re : Cas des suites monotones 27-11-18 à 21:36

salut,
si la suite est majoree alors elle est convergente alors sa limite est -1
Or ...
etc



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