Bonsoir,
J'ai des difficultés à résoudre un exercice sur les limites et les suites, pourriez-vous m'aider ?
Énoncé :
Soit la suite u définie par u0 = 0 et pour tout entier naturel n,
Un+1 = Un2 + 3Un + 1.
1) Justifier que pour tout entier naturel n, Un>= 0.
En déduire que la suite est croissante.
2) On suppose que la suite u est majorée.
Déterminer dans ce cas la valeur de sa limite.
3) Que peut-on en déduire ?
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Mes réponses :
1) Un+1 - Un = Un2 + 3Un + 1 - Un
= Un2 + 2Un +1
or Un2 + 2Un + 1 > 0
et U0 = 0
donc Un >= 0 et (Un) est une suite croissante.
2) (Un) est une suite convergente et majorée, donc elle est convergente
d'après le théorème de convergence monotone.
On pose l la limite de (Un).
lim-> +∞(Un) = l et lim-> +∞(Un+1) = l
or Un+1 = Un2 + 3Un + 1
donc lim-> +∞(Un+1) = l2 +3l + 1
La limite d'une suite est unique donc : l=l2 + 3l + 1
<=> l2 + 2l + 1 = 0
Puis avec la méthode du discriminant je trouve : l = -1.
3) ?
Est-ce que tout ce que j'ai fait est faux ?
Que faut-il répondre en 3) ?
Merci d'avance !
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