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[casse-tête] Droites d'équation

Posté par
sny
08-12-06 à 18:12

Bonsoir à tous,

J'ai un problème de compréhension d'un énoncé... Est-ce que quelqu'un pourrait m'aider?

L'énoncé est le suivant:

"on considère la famille des droites Gn d'équation (2n-3)x + (n+1) y = (1-3n)

Toutes passent par un même point Z.

Toute droite passant par Z est elle une droite Gn?"

Je suis un peu perdu...

Amicalement

Posté par
pgeod
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 18:33

bonsoir,

Soit (2n-3)x + (n+1) y = (1-3n)
On cherche si cette relation peut-être vérifiée quelle que soit la valeur de n.

Or (2n-3)x + (n+1) y = (1-3n)
<=> n (2x + y +3) + (-3x + y -1) = 0

La relation précédente est de la forme P(n) = an + b = 0
C'est un pôlynome en n d'ordre 1. Ce polynôme est nul
à condition que ses coefficients soient nuls, c'est à dire que a = b = 0,
d'où les conditions sur le point fixe de la famille des droites Gn :

2x + y + 3 =0
-3x + y - 1 =0

Système de 2 équations à 2 inconnues qu'il te reste à résoudre.

...

Posté par
sny
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 18:44

Merci beacoup de ton aide geod!

J'ai résolu le système, et je trouve x = -4/5    et y = -7/5.

Donc on a le point Z (-4/5 ; -7/5)

Je ne comprends toujours pas certaines choses: que représente le "n"; est-ce bien juste que le x et le y sont les coordonnées de Z...

Dans ce cas toute droite passant par Z serait une droite Gn?

Amicalement

Posté par
pgeod
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 19:39

Re:

Les coordonnées (-4/5 ; -7/5) correspondent bien au point Z recherché.
D'ailleurs, si tu remplaces x par -4/5 et y par -7/5 dans l'équation de la famille
des droites Gn : (2n-3)x + (n+1) y = (1-3n), tu t'apercevras que
cette relation est toujours vérifiée quelle que soit la valeur de n.

Pour répondre ensuite à la seconde question : "Toute droite passant par Z est elle une droite Gn?", considérons l'équation générale d'une droite passant par Z de coordonnées (-4/5 ; -7/5)
Cette équation est de la forme  : a (x + 4/5) + b (y + 7/5) = 0
c'est à dire ax + by = - (4a/5 + 7b/5)

Si cette droite appartient à la famille de droites Gn,
elle doit également vérifier l'équation : (2n-3)x + (n+1) y = (1-3n)
Or deux droites sont identiques si leurs coefficients sont égaux, donc le problème se ramène à rechercher s'il existe une valeur de n tel que, les trois relations suivantes soient toutes les trois vérifiées :

2n - 3 = a
n + 1 = b
1 - 3n = - (4a/5 + 7b/5)

Si n existe pour toutes valeurs de a et b, alors toute droite passant par Z est une droite de la famille de droites Gn. Dans le cas contraire, il existe des droites passant par Z qui n'appartiennent pas à Gn.

...

Posté par
sny
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 20:15

Encore merci de ton aide Je commence à y voir plus clair...

Il reste cependant certaines zones d'ombres, je ne comprends pas comment tu arrives à la forme "a (x + 4/5) + b (y + 7/5) = 0".

Aussi dans la première équation je ne comprends pas ce que représente le n (une variable quelconque ou alors quelque chose de précis en rapport avec la droite?)

Amicalement

Posté par
pgeod
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 20:31

Citation :
Il reste cependant certaines zones d'ombres, je ne comprends pas comment tu arrives à la forme "a (x + 4/5) + b (y + 7/5) = 0".


L'équation générale d'une droite est : ax + by + c = 0
L'équation générale d'une droite passant par un point (XA ; YA) est : a (x - XA) + b (y - YA) = 0

Citation :
Aussi dans la première équation je ne comprends pas ce que représente le n (une variable quelconque ou alors quelque chose de précis en rapport avec la droite?)


n est ce qu'on appelle un paramètre. Il peut prendre toute valeur.
Mais pour une valeur particulière de n, tu obtiens une équation particulière de droite.
n = 0 ->> droite d'équation : -3x + y = 1
n = 1 ->> droite d'équation : -x + 2y = -2
etc..

l'ensemble des droites précédentes, obtenues pour toutes les valeurs de n,
est l'ensemble des droites Gn (ou la famille des droites Gn).

...

Posté par
sny
re : [casse-tête] Droites d'équation 08-12-06 à 21:00

D'accord j'y vois beaucoup plus clair! Je ne connaisssais pas l'équation générale d'une droite sous cette forme; je comprends mieux maintenant. (je connaissais ax + b = 0)

D'accord aussi pour le n en tant que paramètre, en tout cas merci pour tes précieuses explications!

Je vais essayer de relire le tout pour mieux le comprendre mais je crois que c'est bon... en tout cas je te remercie beaucoup!

Amicalement



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