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Niveau Licence Maths 1e ann
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Cauchy

Posté par
jackobenco
18-07-17 à 04:06

Salut à la communauté ,
J'ai un petit problème sur une des propriétés des suites de Cauchy (dans un espace vectoriel normé), comment démontrer qu'une suite de cauchy a au plus une valeur d'adhérence ?

Je me suis donc dis raisonnons par l'absurde (supposons que l1#l2 et aussi qu'il existe \varphi 1 et \varphi 2 croissantes tel que qu'il existe N1 un entier tel que quelque soit n supérieur à N1 \parallel u\varphi 1(n)-l1\parallel \preceq \varepsilon
et de même il existe N2 un entier tel que quelque soit n supérieur à N2 \parallel u\varphi 2(n)-l2\parallel \preceq \varepsilon.

L'idée serait de majorer \parallel l1-l2\parallel par une suite convergeant vers 0 .
Donc j'utilise l'une des définitions d'une suite de cauchy tel que :
(n)R+ tel que nN et pN, \parallel Un+p-Un\parallel \preceq \alpha n

et n est une suite qui tend vers 0 en +oo.

Cependant impossible pour moi de majorer la distance (l1,l2) pour arriver à la contradiction.

C'est les seuls outils (qui je pense) sont utiles dans cette démo .

Merci d'avance.J'espère avoir été clair

Posté par
etniopal
re : Cauchy 18-07-17 à 07:27

Si (X,d) est un espace métrique ,  u : X est de Cauchy et a une valeur d'adhérence de u alors  u a .
Pour le voir :
  Soit : stictement croissante telle que u o a .
Soit r > 0 .  On peut trouver
    .. p tel que   d(a , u((n))) < r/2  pour n  > p
    ..q   tel que d(u(m) , u(n)) < r/2 si  m > n > q .

Avec ça tu dois être capable de montrer l'existence de N   tel que d(a , u(n)) < r si n > N .

Posté par
luzak
re : Cauchy 18-07-17 à 10:56

Bonjour jackobenco.
Tu peux utiliser directement ton idée de démonstration par l'absurde.

Supposons qu'on ait deux valeurs d'adhérence distinctes a,b. Prenons 0<3\varepsilon<\lVert b-a\rVert.
La suite étant de Cauchy, il existe r tel que m>n>r\A\implies\lVert u_m-u_n\rVert<\varepsilon.
a étant valeur d'adhérence, il existe p>r tel que \lVert u_p-a\rVert<\varepsilon.
De même il existe q>p tel que \lVert u_q-b\rVert<\varepsilon.

Comme b-a=b-u_q+u_q-u_p+u_p-a et q>p>r tu auras la contradiction \lVert b-a\rVert<3\varepsilon.



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