Salut à la communauté ,
J'ai un petit problème sur une des propriétés des suites de Cauchy (dans un espace vectoriel normé), comment démontrer qu'une suite de cauchy a au plus une valeur d'adhérence ?
Je me suis donc dis raisonnons par l'absurde (supposons que l1#l2 et aussi qu'il existe et croissantes tel que qu'il existe N1 un entier tel que quelque soit n supérieur à N1
et de même il existe N2 un entier tel que quelque soit n supérieur à N2 .
L'idée serait de majorer par une suite convergeant vers 0 .
Donc j'utilise l'une des définitions d'une suite de cauchy tel que :
(n)R+ tel que nN et pN,
et n est une suite qui tend vers 0 en +oo.
Cependant impossible pour moi de majorer la distance (l1,l2) pour arriver à la contradiction.
C'est les seuls outils (qui je pense) sont utiles dans cette démo .
Merci d'avance.J'espère avoir été clair
Si (X,d) est un espace métrique , u : X est de Cauchy et a une valeur d'adhérence de u alors u a .
Pour le voir :
Soit : stictement croissante telle que u o a .
Soit r > 0 . On peut trouver
.. p tel que d(a , u((n))) < r/2 pour n > p
..q tel que d(u(m) , u(n)) < r/2 si m > n > q .
Avec ça tu dois être capable de montrer l'existence de N tel que d(a , u(n)) < r si n > N .
Bonjour jackobenco.
Tu peux utiliser directement ton idée de démonstration par l'absurde.
Supposons qu'on ait deux valeurs d'adhérence distinctes . Prenons .
La suite étant de Cauchy, il existe tel que .
étant valeur d'adhérence, il existe tel que .
De même il existe tel que .
Comme et tu auras la contradiction .
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