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Cauchy bis

Posté par
Tiantio 21-12-22 à 13:20

Bonjour à tous

Exo : Décrire toutes les fonctions entières f telles que : |f(z)| >\frac{1}{4+e^{|z|}}, \forall z \in \mathbb{C}.

Voici ce que j'aie fait : soit f(z) =\sum_{n=0}^{\infty}{a_n z^{n}} vérifiant la condition ci-dessus
on remarque que : f(z)\neq0  \forall z \in \mathbb{C}
Si z=0 alors f(z) = a_0 avec a_0 \in \mathbb{C^{*}}

supposons z\neq 0 ( z =re^{it} )
a_n = \frac{1}{2 \pi } \int_0^{2\pi} \frac{f(re^{it})e^{-int}dt}{r^{n}}

   j'ai essayé d'utuliser l'inégalité de Cauchy mais après j'ai du mal continuer

Merci pour vos suggestions !

* Modération > titre modifié pour distinguer les deux sujets *

Posté par
verdurinre : Cauchy 21-12-22 à 13:34

Bonjour,
le principe du maximum devrait suffire.

Posté par
Tiantiore : Cauchy 21-12-22 à 14:04


comme f ne s'annule pas sur \mathbb{C} , \frac{1}{|f(z)|} admet un max, donc d'après le principe du max, \frac{1}{f(z)}  est constante sur  \mathbb{C} ie que f est constante

Est-ce correct s'il vous plaît ?

Merci pour votre réponse

Posté par
verdurinre : Cauchy 21-12-22 à 18:19

C'était mon idée.
Mais à seconde vue il n'est pas certain que \frac{1}{|f(z)|} admette un maximum sur \mathbb{C}.
Mais si cette expression n'a pas de maximum alors elle a un minimum ( à démontrer ) et on regarde |f(z)|

Posté par
Ulmierere : Cauchy 21-12-22 à 19:10

La fonction exponentielle ne s'annule pas sur C, est également entière, et pourtant 1/|exp| n'est pas bornée !

Posté par
verdurinre : Cauchy 21-12-22 à 19:15

C'est vrai : grosse erreur de ma part

Posté par
Tiantiore : Cauchy 21-12-22 à 19:51

j'ai une idée :

soit f vérifiant l'inégalité \forall z \in \mathbb{C}

g(z) = \frac{1}{f(z)} est entière et |g(z)|<\frac{1}{4}

donc g est constante (Th Liouville)

Je voudrais svp savoir si cet argument tient la route, merci


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