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merci pour ce résultat
il est valable pour a,b,c dans quel ensemble?

Si a , b , c sont des réels tu as :
   (a + b + c)² - 3(ab + bc + ca) = a² + b² + c² -(ab + bc + ca)
ab + bc + ca est le produit scalaire de 2 vecteurs  
Comme le dit ton titre , ya du Cauchy-Schwartz dans l'air .

Bonjour ayoubabde,
Quand comprendras-tu qu'ici on est poli : On dit bonjour.
Et :
Qu'on donne un énoncé complet.
Qu'on explique ce qu'on a déjà essayé, ses pistes de recherche.

Ici, aucune précision sur a, b et c. Des entiers ? Des rationnels ?
Et qu'as-tu tenté ?

ayoubabde est une sorte de troll
Il pose des relations comme ça un peu n'importe où, ne les relit pas et ne revient pas voir si on en a fait quelque chose...

Juste pour le fun et troubler le demandeur :
Cauchy-Schwartz revient à utiliser un marteau piqueur pour écraser une mouche.

Multiplier par 2 permet une démonstration niveau seconde voire moins

C'est sur que le plus élégant c'est de montrer que
(a+b+c)²-3(ab+bc+ca) = (c+b-2a)²/4 + (3/4) ( b-c)² 0 comme somme de carrés.
mais il faut le trouver

c'est simplement la forme canonique ... quand on reconnait le début d'une identité remarquable ...

niveau collège en fait ... _{^{pour enfoncer le clou}}

Ce n'est pas ce à quoi j'avais pensé. Je respecte le côté cyclique :
2( (a+b+c)² - 3(ab+bc+ca) ) est une somme de 3 carrés .

ha oui ! tu as raison, je suis passé à coté de
(a+b+c)²-3(ab + bc + ca) = ((b-c)²+(c-a)²+(a-b)²)/2
beaucoup plus esthétique !