Bonjour,

déja pour que le cavalier puisse sauter de centre de case en centre de case il est nécessaire que n soit une somme de deux carrés

sont impossibles par exemple.

un cavalier ordinaire à une "longueur" de ,
et s'inscrit dans un rectangle de 2 x 3 cases
et par exemple au plus court :



de nombreux trajets équivalents, et de nombreux plus longs
(voire même passant par toutes les cases ?)

n doit être impair.
Parce que si n est pair, le cavalier reste toujours sur des cases blanches.

Avec une longueur comme 125 par exemple, c'est amusant. Le cavalier peut faire des mouvements (10,5), mais aussi (11,2)
Avec uniquement des mouvements (10,5), il ne pourrait pas arriver (parce que pgcd(10,5) ne divise pas 11), mais avec les 2 types de mouvements, il devrait pouvoir arriver.

Et 145 est encore plus amusant
Là aussi, 2 mouvements possibles, mais 12 est trop grand pour une des 2 directions.

A ce niveau, ce n'est plus un cavalier, c'est une girafe qui a beaucoup de mal à se déplacer dans un espace trop petit pour elle.

D'accord pour le cavalier de mathafou mais comment fait la girafe de ty59847 pour s'en sortir sans rester coincer quelque part ?

Les conditions n impair et n somme de deux carrés sont nécessaires, bien vu, mais pas convaincue du tout que ce soit suffisant. Même si effectivement le fait d'avoir plusieurs décompositions aide pas mal.

Bonsoir.
On a deux valeurs de n qui marchent bien : n=1 et n=361.

Pour les autres valeurs il faut, en plus des conditions déjà données, que n soit la somme de deux carrés premiers entre eux ( ou multiples de 19 mais là on sort de l'échiquier. )
Par exemple n=45=3²+6² ne convient pas.

Si l'échiquier était infini il suffirait que le cavalier puisse atteindre une case ayant un coté commun avec la case de départ.
Mais je ne vois pas comment gérer la contrainte de taille.

Pour continuer sur l'échiquier infini en omettant les cas n=1 et n=19².

Un « cavalier » partant de la case (0;0) peut rejoindre la case (0;19) si et seulement si il existe deux entiers non nuls p et q tels que :
le PGCD de p et q divise 19 et le PGCD de p+q et p−q divise 19.

Sur l'échiquier fini je peux montrer que 5 ; 17 ; 37 ; 65 et 101 sont des valeurs acceptables.

Pour ma girafe avec n=145, un chemin possible se fait en 5 pas seulement : (1,1)(13,2)(4,10)(16,11)(8,2)(20,1)

N'importe quelle case de l'échiquier 20x12 peut être atteinte en 9 pas seulement.

Et voici toutes les solutions :

 1 (1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)(7,1)(8,1)(9,1)(10,1)(11,1)(12,1)(13,1)(14,1)(15,1)(16,1)(17,1)(18,1)(19,1)(20,1)
 5 (1,1)(2,3)(3,1)(4,3)(6,2)(8,1)(10,2)(12,1)(14,2)(16,1)(18,2)(20,1)
 13 (1,1)(3,4)(5,7)(8,5)(11,3)(14,1)(17,3)(20,1)
 17 (1,1)(2,5)(3,1)(4,5)(8,4)(12,3)(16,2)(20,1)
 25 (1,1)(4,5)(7,1)(11,4)(15,1)(20,1)
 29 (1,1)(3,6)(5,11)(10,9)(5,7)(10,5)(15,3)(20,1)
 37 (1,1)(2,7)(3,1)(4,7)(5,1)(6,7)(7,1)(1,2)(7,3)(1,4)(7,5)(13,6)(19,7)(20,1)
 41 (1,1)(5,6)(9,1)(4,5)(9,9)(13,4)(8,8)(3,12)(7,7)(11,2)(16,6)(20,1)
 53 (1,1)(3,8)(5,1)(7,8)(9,1)(2,3)(9,5)(2,7)(9,9)(2,11)(4,4)(11,6)(18,8)(20,1)
 61 (1,1)(6,7)(12,2)(7,8)(1,3)(6,9)(12,4)(7,10)(13,5)(8,11)(14,6)(20,1)
 65 (1,1)(2,9)(9,5)(16,9)(12,2)(20,1)
 73 (1,1)(4,9)(12,6)(4,3)(1,11)(9,8)(1,5)(9,2)(12,10)(4,7)(12,4)(20,1)
 85 (1,1)(3,10)(10,4)(17,10)(11,3)(20,1)
 101 (1,1)(2,11)(12,10)(2,9)(12,8)(2,7)(12,6)(2,5)(12,4)(2,3)(12,2)(11,12)(10,2)(20,1)
 125 (1,1)(3,12)(5,1)(10,11)(15,1)(5,6)(15,11)(20,1)
 145 (1,1)(13,2)(4,10)(16,11)(8,2)(20,1)
 169 (1,1)(14,1)(2,6)(15,6)(3,1)(16,1)(4,6)(17,6)(5,1)(18,1)(6,6)(19,6)(7,1)(20,1)
 185 (1,1)(9,12)(17,1)(4,5)(17,9)(6,1)(14,12)(1,8)(14,4)(3,12)(11,1)(19,12)(6,8)(19,4)(8,12)(16,1)(3,5)(16,9)(5,1)(13,12)(2,4)(15,8)(2,12)(10,1)(18,12)(5,8)(18,4)(7,12)(15,1)(2,5)(15,9)(4,1)(12,12)(20,1)
 205 (1,1)(15,4)(1,7)(15,10)(2,4)(16,1)(3,7)(17,10)(4,4)(18,1)(5,7)(19,10)(6,4)(20,1)
 221 (1,1)(15,6)(1,11)(12,1)(2,12)(16,7)(2,2)(13,12)(3,1)(17,6)(3,11)(14,1)(4,12)(15,2)(1,7)(15,12)(5,1)(16,11)(2,6)(16,1)(6,12)(17,2)(3,7)(17,12)(7,1)(18,11)(4,6)(18,1)(8,12)(19,2)(5,7)(19,12)(9,1)(20,11)(6,6)(20,1)
 305 (1,1)(18,5)(2,12)(19,8)(2,4)(18,11)(1,7)(18,3)(2,10)(19,6)(2,2)(18,9)(1,5)(18,1)(2,8)(19,12)(3,5)(20,1)
 325 (1,1)(19,2)(1,3)(19,4)(1,5)(19,6)(1,7)(19,8)(2,2)(20,1)
 361 (1,1)(20,1)

Bravo ty59847, je soupçonne l'existence d'un petit programme mais ça n'enlève rien au mérite, bien au contraire .
La pauvre girafe 221 est arrivée épuisée mais elle est arrivée quand même pour rejoindre toutes les autres