Soit P(x) = Ax² + Bx + C

Il faut résoudre le système:
Aa² + Ba + C = b
Ab² + Bb + C = c
Ac² + Bc + C = a

Je n'essaie pas de le résoudre dans le cas général.
Je te le laisse si tu veux.

Voici un exemple chiffré:

Si on a par exemple a = 1, b = 2 et c = 4
On trouve en résolvant le système:
A = -7/6; B = 11/2 et C = -7/3
et donc P(x) = -(7/6)x² + (11/2)x - (7/3)
-----
Sauf distraction.  

LoL. Si tu trouves celui du cas général, bravo!

Il n'y a rien de sorcier, il faut juste essayer de ne pas être
distrait.

Aa² + Ba + C = b
A = (b - Ba - C)/a²
->
(b - Ba - C).b²/a² + Bb + C = c
b³/a² - Bb²/a - b²C/a² + Bb + C = c
B(b - b²/a) = c - C + b²C/a² - b³/a²
B = (c - C + b²C/a² - b³/a²)/(b-  b²/a)
B = (a²c - a²C + b²C - b³)/(a²b-ab²)   (1)
----
(b - Ba - C).c²/a² + Bc + C = a
bc² - Bac² - Cc² + Ba²c + a²C = a³
B(a²c - ac²) = a³ - a²C + Cc² - bc²
B = (a³ - a²C + Cc² - bc²)/(a²c - ac²)   (2)
----
(1) et (2) ->
(a²c - a²C + b²C - b³)/(a²b-ab²) = (a³ - a²C + Cc² - bc²)/(a²c - ac²)

(a²c - a²C + b²C - b³)(a²c-ac²) = (a³ - a²C + Cc² - bc²).(a²b-ab²)
(a²c - a²C + b²C - b³)(ac-c²) = (a³ - a²C + Cc² - bc²).(ab-b²)
C(b²-a²)(ac-c²) + (a²c-b³)(ac-c³) = C(c²-a²)(ab-b²) + (a³ - bc²).(ab-b²)
C.[(b²-a²)(ac-c²) - (c²-a²)(ab-b²)] = (a³ - bc²).(ab-b²) - (a²c-b³)(ac-c²)
C = [(a³ - bc²).(ab-b²) - (a²c-b³)(ac-c²)] / [(b²-a²)(ac-c²) - (c²-a²)(ab-b²)]


que je te laisse développer et simplifier si tu veux.

vérification avec l'exemple chiffré:
C = [(1 - 32).(2-4) - (4-8)(4-16)] / [(4-1)(4-16) - (16-1)(2-4)]
C =  -7/3 (ouf quelle chance)

A toi pour  A et B ... ce n'est plus très long  

Dans le pb P(a)=b P(b) = c et P(c)=a ya une solution bcp plus simple
et plus astucieuse:
regardes si tu prends ce polynome P:
P(x) =  {[(x-a)(x-b)*a]/[(c-a)(c-b)]} + {[(x-c)(x-a)*c]/[(b-c)(b-a)]}
+ {[(x-b)(x-c)*b]/[(a-b)(a-c)]}
Ecris le sur papier, tu trouveras ma solution x fois plus simple...

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