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centre de cercle varie sur

Posté par
Aycn
17-05-19 à 23:58

Bonsoir,
soit [0,]
On considere le l'ensemble C() = x2+y2-2sin() +2cos()+1-cos2()=0
1) Definir C(/2) resultat : on trouve un point P(1,0)
soit \ (/2)
2) Montrer C() un cercle
resulat : (x-sin())2+(y+cos())2=cos()2
3)montrer que le centre varient sur un cercle
Mon idee : le centre (sin(),-cos())son x varie selon sin () du coup 0<x<1 et -1<y<1 donc je vais prendre le cercle de centre (0,0) rayon 1 et dire qu'il est defini que sur x 0. vos avis?

Posté par
Barney
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:06

Bonjour,

tu as fait sauter des caractères en recopiant ?

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:10

Pardon ?
j'ai sauter le plan muni d'un repere orthonormé
dans 2)a  preciser le rayon, le centre.

Posté par
Barney
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:13

reprends la formule de C()

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:20

C() = x2+y2-2sin() +2cos()+1-cos2()=0  ?
je vois pas ..

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:21

ah oui j m'excuse

C() = x2+y2-2sin() x+2cos()y+1-cos2()=0

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:25

C() = x2+y2-2sin() x+2cos()y+1-cos2()=0
(j'ai reecris les puissances)

Posté par
Barney
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:26

et oui...
alors tu reconnait des identités remarquables ?
lesquelles ? quels termes tu regroupes ?

Posté par
mathafou
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:32

Bonjour,

pour moi il ne manquait rien
problème d'affichage ?
par contre la dernière formule de 00:20 est en vrac (parenthèses mal placées, exposant rabaissés)

tout ce qui a été calculé est bon.
la justification du cercle lieu des centres est un peu succincte , mais bon .. on voit bien que c'est un bout du cercle trigo.
ton cercle défini  sur x > 0, c'est un demi-cercle

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:33

je regroupe x2-2sin() x + y2 + 2cos()y + 1 +cos 2 = 0
forme canonique
(x-sin())2-sin()2+(y+cos())2) - cos()2+1 -cos()2
(x-sin())2+(y+cos())2=cos()2

Posté par
Barney
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:34

mathafou il manquait un x et un y  

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:34

Au debout javais oublié x et y apres 2sin et -2cos

Posté par
mathafou
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:36

ah oui effectivement   c'est mes lunettes qui ont un problème d'affichage

Posté par
Barney
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:37

je te laisse poursuivre

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:44

Que dois je écrire maintenant?

Posté par
mathafou
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:45

poursuivre quoi ? c'est fini !
(c'était déja fini au début à part les fautes de frappe)

comme j'ai dit on peut améliorer la rédaction de la question 3 en justifiant formellement (une formalité !)
que tous les points de coordonnées (sin(α); -cos(α))  sont sur un cercle de centre (0;0) et de rayon 1

Posté par
Aycn
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 00:58

Daccord je vois merci !
Par contre j'ai une question sur 2 quand jai trouvé R2 = cos2 donc r = cos ou r = -cos dois-je faire deux intervalles et deux cas possible? vu que -1<cos<1

Posté par
mathafou
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 06:31


si tu trouvais  R² = 25 tu dirais que R = +5 ou -5 ?
moi je dirais R = |cos α|   (valeur absolue de cos α)
\sqrt{a^2} n'est pas = a mais à  |a|

donc oui  si tu veux supprimer la valeur absolue, tu peux séparer les deux intervalles pour que ±cos α  soit toujours positif.
(si cos α <0, R = -cos α, si cos α >0,  R = cos α)

Posté par
mathafou
re : centre de cercle varie sur 18-05-19 à 07:09

on peut aussi se poser des questions intéressantes avec cette famille de cercles
chercher ce qu'on appelle "l'enveloppe" de ces cercles (une courbe à laquelle tous ces cercles seraient tangents) ou s'ils passent tous par un ou des mêmes points

en particulier ici montrer qu'ils sont tangents à une même  droite fixe
(le reste de l'enveloppe est plus compliqué et attendra postbac)

déja on peut rentrer cette famille de cercles dans Geogebra, avec un curseur pour α
et en activant la trace  de ces cercles , cela donne une idée de l'allure de l'enveloppe

centre de cercle varie sur
en noir la trace des cercles, en rouge un cercle courant, de centre M
en vert le lieu des centres
en bleu l'enveloppe, les points A et B sont les points de contact des cercles avec leur enveloppe

j'ai fait varier ici α (appelé t pour des raisons de facilité de frappe des équations) de 0 à 2π parce que c'est plus parlant et rien ne nous en empêche

trouver la partie "segment de droite" de cette enveloppe est à la portée ici
(conjecturer avec Geogebra quel est ce (segment de) droite
puis le prouver  : distance du centre à cette droite = le rayon ou pas
le limiter à un segment est  car l'abscisse du centre est limitée à un intervalle.

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