Niveau autre

centre de gravité de triangle

Posté par
pppa 13-06-15 à 23:57

Bonjour

je bloque sur une démonstration ; pouvez-vous m'aider à l'établir svp.

Enoncé : Soit un triangle ABC ; sur les droites (BC), (CA) et (AB) se trouvent resp. les points A', B' et C' tels que :

$\dfrac{\bar{A'B}}{\bar{A'C}} = \dfrac{\bar{B'C}}{\bar{B'A}} = \dfrac{\bar{C'A}}{\bar{C'B}}$ .

Démontrer vectoriellement que les triangles ABC et A'B'C' ont le même centre de gravité.

Mon raisonnement :

Soit G le centre de gravité du triangle ABC, G' celui du triangle A'B'C'.

On a : $\vec{GA} + \vec{GB} + \vec{GC}  =  \Vec{0}$

et $\vec{G'A'} + \vec{G'B'} + \vec{G'C'}  =  \Vec{0}$ .

J'essaye de démontrer à l'aide de la relation de Chasles que $\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'}  =  \Vec{0}$ .

Les rapports d'égalité étant donnés en mesure algébrique, j'en déduis que :
$\vec{A'B} =k\Vec{A'C}$
$\vec{B'C} =k\Vec{B'A}$
$\vec{C'A} =k\Vec{C'B}$ ,  k*

J'arrive à l'égalité : $\vec{GA'} + \vec{GB'} + \vec{GC'}  =  3k\Vec{G'G}$ .

Comment établir alors que G = G' ? Je tourne en rond.

Merci de m'indiquer comment faire