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Centre de symétrie d une fonction

Posté par killergr (invité) 28-12-04 à 09:23

Bonjour à tous,

Comment prouve-t-on que

g(x) = (x-2)²/(x²-2x+2)

a pour centre de symétrie I(3/2;1/5)

Pouvez vous me detailler la demonstration ?

Merci d'avance

Posté par Dasson (invité)re : Centre de symétrie d une fonction 28-12-04 à 09:49

Bonjour,

La représentation graphique est une courbe qui a pour centre de symétrie le point I(1;1).
Nouveau repère d'origine I :
X=x-1
Y=y-1
Y=-2X/(X²+1) définit une fonction impaire donc...
A vérifier.

Posté par killergr (invité)On utilise pas la formule ... 28-12-04 à 10:07

Merci dasson,

Mais on est pas censé utiliser la formule :

(g(a+h)+g(a-h))/2=b , Sachant que I(a;b) ?

(quand je developpe je ne m'y retrouve plus..

Posté par
lyonnaisre : Centre de symétrie d une fonction 28-12-04 à 10:11

salut killergr :

Dg = R  car x²-2x+2 0 pour tout x de R.

donc g(x+\frac{3}{2}) Dg et g(x-\frac{3}{2}) Dg

g(x+\frac{3}{2}) = \frac{(x+\frac{3}{2}-2)^2}{(x+\frac{3}{2})^2-2(x+\frac{3}{2})+2} = ...

g(x-\frac{3}{2}) = \frac{(x-\frac{3}{2}-2)^2}{(x-\frac{3}{2})^2-2(x-\frac{3}{2})+2} = ...

je te laisse simplifier les deux équations.

Après tu dois appliquer la formule :

g(x-\frac{3}{2}) + g(x+\frac{3}{2}) et tu devras trouver 2(\frac{1}{5}).
Tu conclueras en disans que g est une fonction impaire de centre (\frac{3}{2};\frac{1}{5}).
Voila, bon courage.

Posté par killergr (invité)J ai honte mais quelqu un peut me detailler le calcul... 28-12-04 à 12:40

J'ai fait la calcul et je ne retrouve pas la valeur recherchée.

Quelqu'un pourrait me le détailler .. je lui en serait très reconnaissant !

Posté par killergr (invité)le calcul detaillé ? 28-12-04 à 13:52

Personne ne me peut m'aider ?

Posté par killergr (invité)Dernier appel à l aide 28-12-04 à 15:49

Personne ne peut developper ce que m'a présenté lyonnais ?

Posté par Dasson (invité)re : Centre de symétrie d une fonction 28-12-04 à 20:52

Il y a une erreur dans l'énoncé : pour cette fonction g, I(1;1).
Autre démonstration utilisant votre formule.
g(1+h)=(h-1)²/(h²+1)
g(1-h)=(h+1)²/(h²+1)
Donc g(1+h)+g(1-h)=2 ...

Posté par
lyonnaisre : Centre de symétrie d une fonction 29-12-04 à 10:09

je suis d'accord avec dasson. Il y a une erreur dans ton énoncé.
Le centre de symétrie est bel et bien I(1;1). Voici ma démo :

supposons que le centre de symétrie soit le point M(a;b).Prenons un nouveau système d'axe MX,My parralèle à Ox et Oy. On aura x = X + a  et y = Y + b

Dans ce nouveau système, l'équation devient :

Y + b = \frac{(X+a-2)^2}{(x+a)^2-2(X+a)+2}
d'où Y = \frac{(X+a-2)^2-b[(x+a)^2-2(X+a)+2]}{X^2+X(2a-2)+2+a^2-2a}

Le point M sera un point de symétrie si cette fonction est impaire.Au dénominateur on doit annuler le terme en X ,soit a = 1 et

Y = \frac{(X-1)^2-b(X^2+1)}{X^2+1}
Y = \frac{-2X+(1-b)X^2+1)}{X^2+1}
pour cette fonction soit impaire il faut que les termes en X^2 et indépendant du numérateur soient nuls,donc b = 1

Le centre de symétrie de la courbe sera donc le point

M( 1;1)

Posté par
lyonnaisre : Centre de symétrie d une fonction 29-12-04 à 13:54

mince, à la dernière équation de Y , il faut lire :

Y = \frac{X^2(1-b)-2X+(1-b)}{X^2+1}

Pour que cette fonction soit impaire,donc que le point M(0;0) dans le système MXY ou le point M(a;b) dans le système Oxy soit centre de symétrie, il suffit que : b = 1

Donc le point M(1;1) dans le système Oxy est le centre de symétrie de la courbe y = g(x)

Voila. @+


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