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centre de symetrie d une fonction
salut je cherche a resoudre la derniere question de mon exo (questions
1 et 2 pas de pb):
soit f(x)=(1-x²)/(2+x) sur R-{-2}
1- pour tt reel different de -2 verifiez l egalite
f(x)= -x+2 - 3/(x+2)
2- etudier les variations de f tracer le courbe C
3-demontrez que la courbe C admet un centre de symetrie
Bonsoir,
soit f(x)=(1-x²)/(2+x) sur R-{-2}
1)
-x+2 - 3/(x+2) = ((2-x)(x+2)-3)/(x+2)
=(4-x²-3)/(x+2)
=(1-x²)/(x+2)=f(x)
2)
f'(x)=-1+3/(x+2)²=(3-(x+2)²)/(x+2)²
f'(x)=(-x²-4x-1)/(x+2)²
On étudie le signe du numérateur et on en déduit les variations de f.
3) On remarque sur le tracé que le point de coordonnées (-2;4) est
centre de symétrie de la courbe.
Pour le démontrer, on effectue un changement de repère.
On pose X=x+2 et Y=y-4.
Dans le repère d'origine, l'équation de la courbe est y=(1-x²)/(x+2)
Dans le nouveau repère,
Y+4=(1-(X-2)²)/X
Y=(-X²+4X-3)/X-4
Y=(-X²-3)/X
Or la fonction g(X)=(-X²-3)/X est impair. Donc le point (-2;4) est centre
de symétrie de la courbe.
@+
Simple question: pour un axe de symétrie on effectue aussi un changement
de repere? Et ensuite on démontre que la fonction est paire?
merci
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