il faut que tu fasse un déssin pour chaque résultat ou pas?

Bonjour,

On sait que si le triangle est rectangle alors le centre du cercle circonscrit est le milieu de son hypoténuse et il y a "des" démonstrations.

On constate (je n'ai jamais vu de démo) que si le triangle est acutangle alors .... et s'il est obtusangle alors...
Avec un bon logiciel c'est génial à faire constater.

Bonjour Matheuux,

Soit un triangle acutangle.
La hauteur issue du sommet coupe le côté en un point .
Le triangle est rectangle en ; le centre du cercle circonscrit à ce triangle est le milieu de .
Ce point appartient bien évidemment à la médiatrice du côté .
Le centre du cercle circonscrit au triangle appartient lui à la médiatrice de .
Comme se trouve " au dessus " de , le point est situé plus haut que sur la médiatrice de ,
donc situé du même côté que par rapport à la droite .
On démontre de même que est situé du même côté que par rapport à la droite et du même côté que par rapport à la droite .
Par conséquent, est à l'intérieur du triangle .

Bien cordialement,

Merci à tous pour vos réponses.

J'ai mené la démonstration que vous me proposez Pierre carré (joli surnom au passage ), et J'aurais besoin de vos lumières sur différents points :
1) En pré-requis, vous supposer démontrer le cas particulier de ce théorème dans le cas du triangle rectangle (centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse) pour dire que "le centre du cercle circonscrit  à ce triangle est le milieu M de [BC]" ?
2) "M appartient évidemment à la médiatrice n' du côté [DC]" : ceci provient du fait que n' et DC et DB et DC sont perpendiculaires donc n' et DB sont parallèles et en utilisant le théorème de la droite des milieux, on démontre que n' coupe [BC] en son milieu M et donc M appartient à la médiatrice de [BC ] (à savoir n'), ou il y a plus simple comme manière de voir les choses ?
3) "n se trouve au-dessus de n' " : n'y'a-t-il pas une autre manière de formuler cette phrase ? Ce que Je voudrais savoir c'est si, mathématiquement parlant, c'est rigoureux (bien qu'on comprenne l'idée) ?
4) Que signifie la phrase : "O est situé du même côté que A par rapport à la droite BC" ? Vous parlez en fait de demi-plan et de régionnement du plan, c'est ca ?
5) Enfin, si on démontre que O est du même côté que A par rapport à la droite BC  et du même côté que B par rapport à la droite AC , le dernier cas (O du même côté que C par rapport à la droite AB) est-il nécessaire ? Les deux premiers suffisent ou le troisième est quand même indispensable (et dans ce cas, pourquoi ?)

6)Et pour le cas où le centre n'appartient pas au triangle, il suffit de montrer par exmple que O est au-dessus de AC ?
Pourriez-vous me guider, SVP

Merci pour l'aide que vous m'apportez en tout cas, c'est gentil.

Bien cordialement,
Matheuux.

Bonjour Matheuux,

Je viens de découvrir vos questions.

1) En pré-requis, vous supposer démontrer le cas particulier de ce théorème dans le cas du triangle rectangle (centre du cercle circonscrit se trouve au milieu de l'hypoténuse) pour dire que "le centre du cercle circonscrit  à ce triangle est le milieu M de [BC]" ?

Oui, c'est la base de la démonstration.
De plus, c'est facile à établir en géométrie élémentaire.
Par exemple, soit le symétrique de par rapport à .
Le quadrilatère est un rectangle ; ces diagonales ont donc même longueur et se coupent en leur milieu.
Aussi, .
Le point étant équidistant de , et , il est le centre du cercle circonscrit au triangle .

2) "M appartient évidemment à la médiatrice n' du côté [DC]" : ceci provient du fait que n' et DC et DB et DC sont perpendiculaires donc n' et DB sont parallèles et en utilisant le théorème de la droite des milieux, on démontre que n' coupe [BC] en son milieu M et donc M appartient à la médiatrice de [BC ] (à savoir n'), ou il y a plus simple comme manière de voir les choses ?

Le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point commun aux trois médiatrices de ce triangle.

3) "n se trouve au-dessus de n' " : n'y'a-t-il pas une autre manière de formuler cette phrase ? Ce que Je voudrais savoir c'est si, mathématiquement parlant, c'est rigoureux (bien qu'on comprenne l'idée) ?

Sans doute, y a-t-il d'autres manières plus rigoureuses d'exprimer cela.
Je n'ai pas cherché ! J'ai simplement placer le triangle avec le côté horizontal pour pouvoir utiliser l'expression " au dessus de ".
Mais, à ce stade, c'est à des élèves très jeunes que le message s'adresse et mon principe est alors que " trop de rigueur tue la rigueur ".
On pourrait dire que la droite se trouve entièrement dans le même demi-plan de bord que ; elle ne peut donc rencontrer que dans ce demi-plan...

4) Que signifie la phrase : "O est situé du même côté que A par rapport à la droite BC" ? Vous parlez en fait de demi-plan et de régionnement du plan, c'est ca ?

Oui, la droite partage le plan en deux demi-plans (c'est une notion simple, assez facile à comprendre par les élèves).

5) Enfin, si on démontre que O est du même côté que A par rapport à la droite BC  et du même côté que B par rapport à la droite AC , le dernier cas (O du même côté que C par rapport à la droite AB) est-il nécessaire ? Les deux premiers suffisent ou le troisième est quand même indispensable (et dans ce cas, pourquoi ?)

Non, ça ne suffit pas.
Le fait que se trouve dans le même demi-plan de bord que et dans la même demi-plan de bord que
est dû au fait que les angles de sommets et du triangle sont aigus.
Si l'angle de sommet était obtus, alors se trouverait à l'extérieur du triangle .
Comme nous supposons le triangle acutangle, il faut aussi tenir compte que cet angle de sommet est aigu,
donc que se trouve dans le même demi-plan de bord que .

6)Et pour le cas où le centre n'appartient pas au triangle, il suffit de montrer par exmple que O est au-dessus de AC ?

Oui, c'est aussi pour cette raison que j'ai choisi ce type de démonstration (très visuelle par exemple en GeoGebra : en laissant et fixe et en obligeant à se déplacer sur une demi-droite fixe d'origine , on verrait la droite se déplacer parallèlement à la droite n' (fixe)...)

Bien cordialement,

Merci pour votre aide, Pierre carré.

Voilà ce que J'avais formulé avant votre réponse pour la 3).
Est-il juste de dire que:
N appartenant au segment [AC], distinct de A et de C (puisque c'est le milieu de ce segment),
M étant le milieu de [BC] (d'après ce qui a été dit avant, c'est le centre du cercle circonscrit au triangle DBC, rectangle en D, c'est donc le milieu de l'hypoténuse de ce triangle),
donc O est situé sur la médiatrice du segment [BC] (puisqu'on considère que c'est le centre cu cercle circonscrit au triangle ABC) et dans le demi-plan de frontière [BC] contenant le point N
?
On procède de la même manière pour les deux autres côtés et on montre qu'il est donc compris dans trois demi-plans
* de frontière [BC] contenant N;
* de frontière [AC] contenant M ;
* de frontière [AB] contenant M.
Ces trois demi-plans constituent l'intérieur du triangle ABC,
Donc O appartient au triangle ABC
(sauf erreur de ma part..)

Qu'en pensez- vous ?
Merci encore,
Cordialement,
Matheuux.

Serait-il possible que quelqu'un me réponde SVP ?
Merci bien
Matheuux.