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Centres de gravité par intégration

Posté par
usmi
02-12-21 à 01:08

Bonsoir,
J'ai un exercice dans lequel je dois calculer un centre de gravité d'un demi-cercle et je reste coincé dans la résolution de mon intégrale:

Dans une partie de mon exercice j'arrive jusqu'à :

\int_{0}^{r}{}y(r^2-y^2)dy

=  -\frac{1}{3}(r^2-y^2)\frac{3}{2}
  


en intégrant de 0 à r,  je sais que je dois trouver   \frac{r^3}{3}

mais voilà, je ne trouve pas !

Merci pour votre aide et vos commentaires.

PS: je n'ai pas mis tout, à la fin je trouve (4/r2 )(\frac{r^3}{3})  =  4r/3.

Posté par
luzak
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 08:22

Ton intégrale est correcte et donne bien \dfrac{r^3}3

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 10:23

Bonjour,
Je confirme
Et je ne vois pas comment peut apparaître alors qu'il ne figure nulle part au départ.

Posté par
usmi
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 10:56

Bonjour luzak et sylvieg et merci pour vos réponses.

Pour sylvieg:

"Et je ne vois pas comment peut apparaître alors qu'il ne figure nulle part au départ."

C'est parce que je n'ai pas mis toue l'expression au départ, qui est :

4/r2\int_{0}^{r}{}y(r2-y2)dy

Sorry, j'aurais dû mettre toute l'expression!

Là où je suis bloqué, c'est que lorsque j'essaie  de faire

-\frac{1}{3}(r2-y2)^{3/2}

Posté par
usmi
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 11:04

ups, le message est parti trop vite!

oui, en essayant de calculer l'expression ci-dessus de 0 à r, j'obtiens 0 au lieu de \frac{r^{3}}{3} que j'ai trouvé en utilisant un logiciel de calcul sur internet.

Mais j'aimerai bien trouver le cheminement moi-même pour arriver à  \frac{r^{3}}{3}.

Posté par
Chamfort
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 11:12

Bonjour;

ici :

Posté par
Pirho
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 11:45

Bonjour,

@usmi : en partant de  

\dfrac{4}{\pi\,r^2}\int_0^r y\sqrt{r^2-y^2}dy

pose u=r^2-y^2

Posté par
usmi
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 14:44

bonjour pirhoet merci pour ta réponse,

j'ai déjà trouvé l'intégrale qui est -\frac{1}{3}(r2-y2)3/2

mais lorsque je calcule cette expression avec les limites de 0 à r,  j'obtiens 0 au lieu de r3/3

Posté par
Pirho
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 15:41

je pense que tu as oublié le terme correspondant à la borne r=0

Posté par
Chamfort
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 17:01

Pirho @ 02-12-2021 à 15:41

je pense que tu as oublié le terme correspondant à la borne r=0


exactement.




\[\begin{array}{l}
 \\ \left[ {\frac{{ - 1}}{3}\left( {{r^2} - {y^2}} \right)} \right]_0^r = \left[ {\frac{{ - 1}}{3}{{\left( {{r^2} - {r^2}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right] - \left[ {\frac{{ - 1}}{3}{{\left( {{r^2} - 0} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right] = \frac{1}{3}{\left( {{r^2}} \right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{3}{r^3}\\
 \\ \\
 \\ \frac{4}{{\pi {r^2}}} \times \frac{1}{3} \times {r^3} = \frac{{4r}}{{3\pi }}
 \\ \end{array}

Posté par
usmi
re : Centres de gravité par intégration 02-12-21 à 20:33

Bonsoir pirho et chamfort,

oui, en effet, j'avais oublié le terme qui correspond à la borne 0!

Mais quel oubli stupide !

Entre temps j'ai refait le calcul avec la borne 0 et ... oh miracle!

Je trouve le bon résultat, comme chamfort l'a posté ci-dessus.

Merci en tous cas pour vos coups de pouces!

Posté par
Pirho
re : Centres de gravité par intégration 03-12-21 à 08:36

@usmi: je poursui mon idée en détaillant un peu trop

I=\dfrac{4}{\pi\,r^2}\int_0^r y\sqrt{r^2-y^2}dy

on pose u=r^2-y^2

du=-2y\,dy,y\,dy=-\dfrac{du}{2}

on change les  bornes

\begin{cases} y=0, u=r^2 & \\ y=r^2, u=0 \end{cases}

I=-\dfrac{4}{\pi\,r^2}\int_{r^2}^0 \dfrac{du\,\sqrt{u}}{2}

on permute les bornes

I=\dfrac{4}{\pi\,r^2}\int_0^{r^2}\dfrac{du\,\sqrt{u}}{2}

I=\dfrac{2}{\pi\,r^2}\left[\dfrac{u^{\dfrac{3}{2}}}{\dfrac{3}{2}}\right]_0^{r^2}\!\!\!\!=\dfrac{4}{\pi\,r^2}\dfrac{r^3}{3}=\dfrac{4\,r}{3\,\pi}

Posté par
usmi
re : Centres de gravité par intégration 03-12-21 à 11:04

@pirho: c'est en effet une solution plus rapide.

Merci pour les détails, c'est toujours une aide pour moi, cela me permet de m'améliorer.

Posté par
Pirho
re : Centres de gravité par intégration 03-12-21 à 13:01

usmi @ 03-12-2021 à 11:04


Merci pour les détails, c'est toujours une aide pour moi, cela me permet de m'améliorer.


de rien, c'est la raison pour laquelle j'ai mis autant de détails

Peut-être à la prochaine



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