Niveau première

Cercle circonscrit et produit scalaire

Posté par yamiaso (invité) 26-04-05 à 11:56

Bonjour, je n'arrive pas à faire cet exercice.
J'avais un autre exercice (que j'ai réussi) du même type, mais avec l'orthocentre. Je pense que le raisonnement doit être à peu près le même, mais je n'y arrive pas.

On considère les points A (-2 ; 3), B (2 ; -1) et I (1 ; 2). Déterminez les coordonnées d'un point C tel que I soit le centre du cercle circonscrit au triangle ABC isocèle en C (donner toutes les solutions).

Merci

Posté par Frip44 (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 26-04-05 à 12:00

Bonjour Yamiaso...

Aide-toi du fait que le centre du cercle circonscrit à un triangle est le point d'intersection des médiatrices des côtés de ce triangles...
Or médiatrice = milieu + perpendiculaire, donc de suite, pense à l'orthogonalité de vecteurs (produit scalaire = 0)...

J'espère que ça t'aidera un peu plus...

++
(^_^)Fripounet(^_^)

Posté par Frip44 (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 26-04-05 à 12:08

Pour commencer, trouve les coordonnées des milieux J, K et L respectivement de (AB), (AC) et (BC) avec C(x;y)...
Une fois cela fait, tu te rends compte que $\vec {IJ}.\vec {AB}=0$ car les vecteurs sont orthogonaux, il te suffit de poser des équations afin de trouver x et y tels que $\vec {IK}.\vec {AC}=0$ et que $\vec {IL}.\vec {BC}=0$ ...

En espérant que ce soit juste...

++
(^_^)Frip'

Posté par yamiaso (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 26-04-05 à 14:15

En remplaçant par les coordonnées, je trouve la même équation pour $\vec{IK}.\vec{AC}$ et $\vec{IL}.\vec{BC}$ , c'est à dire :

$\frac{5+4y-x^2-y^2}{2}$ =0

Pour $\vec{IC}.\vec{AB}$ , je trouve y=x+1

Comme je ne peux pas isoler y dans la 1ère équation, j'ai remplacé les "y" par "x+1"

Je trouve alors une équation du 2nd dégré : $-x^2$ +x+4 = 0

Et je trouve comme solution :

$x_1$ = $\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
$x_2$ = $\frac{1+\sqrt{17}}{2}$

J'ai fait la figure. Ca marche bien pour $x_1$ mais pas pour $x_2$

Posté par Frip44 (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 26-04-05 à 14:50

Re Yamiaso...

Je trouve aussi la même équation pour $\vec {IK}.\vec {AC}=0$ et $\vec {IL}.\vec {BC}=0$ mais pas la même que toi :
Je trouve :
$\frac {x^2+y^2-2x-4y-5}{2}=0$ => (1)

Puis pour $\vec {IC}.\vec {AB}$ (je n'y avais même pas pensé dans ce que je t'ai donné toute à l'heure, mais vu que ABC est isocèle, ça fonctionne !! bien joué ),
$\vec {IC}.\vec {AB}=0 <=> y=x+1$

Donc tu remplaces dans (1), et tu trouves :
$\frac {x^2+(x+1)^2-2x-4(x+1)-5}{2}=0$
<=> $\frac {x^2+x^2+2x+1-2x-4x-4-5}{2}=0$
<=> $\frac {2x^2-4x-8}{2}=0$
<=> $x^2-2x-4=0$

Et $\delta=20$ ,
donc $x_1=\frac {2-\sqrt {20}}{2}=1-\sqrt {5}$
et $x_2=\frac {2+\sqrt {20}}{2}=1+\sqrt {5}$

Peux-tu essayer avec ces valeurs et me tenir au courant ???

++
(^_^)Frip'

Posté par Dasson (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 26-04-05 à 16:26

Bonjour,
C(x;y)
AB.IC=0 et IA²=IC²
4(x-1)-4(y-2)=0 et (x-1)²+(y-2)²=10
y=x+1 et (x-1)²+(x-1)²=10
(x-1)²=5 et y=x+1
(x=1+V5 et y=2+V5) ou (x=1-V5 et y=2-V5)
A vérifier.

Posté par yamiaso (invité)re : Cercle circonscrit et produit scalaire 27-04-05 à 11:34

J'avais fait une erreur de calcul pour l'équation. Ca marche maintenant.

Merci beaucoup !!

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