cercle et proba

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cercle et proba
Posté par 
flight  12-03-25 à 11:23
Bonjour 



je vous propose l'exercice suivant:



sur un cercle unité , on choisit au hasard deux points quelconques notés M1 et M2

Quelle est la probabilité que l'angle intercepté par ces deux points soit supérieur à /3 ? 
 Posté par 
GBZMre : cercle et proba  12-03-25 à 12:11
Bonjour,

Qu'est-ce que l'angle intercepté par ces deux points ? L'angle au centre ? Alors la réponse est facile : 2/3 (en supposant bien sûr que les deux points sont tirés indépendamment et suivant une loi uniforme sur le cercle).
 Posté par 
dpire : cercle et proba  12-03-25 à 14:28
Bonjour,



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On dessine un hexagone régulier dans le cercle et on voit directement que  4 zones sur 6 valident  /3.

toutefois expérimentalement je pense que si on demande à quelqu'un de tracer deux points au hasard  il évitera de les tracer assez près  de 0  à 20  ° par exemple ;donc >2/3 
 Posté par 
Imodre : cercle et proba  12-03-25 à 17:48
Bonjour



@Dpi , les choix sont indépendants , c'est comme si chacun s'amusait sur deux cercles différents . On pourrait imaginer un jeu de fléchettes sur un disque . 



Imod
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flightre : cercle et proba  12-03-25 à 17:50
Bonjour GBZM, 

On cherche a calculer P(>/3)=P(min(2-|y-x|, |y-x|) >/3)
 Posté par 
GBZMre : cercle et proba  12-03-25 à 20:53
Oui, que l'angle au centre (angle géométrique) soit plus grand que . Et comme cet angle géométrique est uniformément réparti sur  .... 
 Posté par 
flightre : cercle et proba  12-03-25 à 20:56
Bravo à vous  deux  c'est bien 2/3 
 Posté par 
dpire : cercle et proba  13-03-25 à 07:49
Tu aurais pu dire à vous 3 ,car j'ai répondu aussi 2/3  ;simplement je faisais remarquer que  pratiquement quand on demande de pointer M1 et M2  on le faisait rarement  sous de faibles angles 
 Posté par 
flightre : cercle et proba  13-03-25 à 16:27
comme imod n'a pas répondu formellement à la question , j'ai bien pris en compte ta réponse dpi  , 
 Posté par 
flightre : cercle et proba  13-03-25 à 16:28
mais bon bravo à vous 3 , 
 Posté par 
dpire : cercle et proba  14-03-25 à 08:37
Bonjour,

Autant la réponse mathématique est évidente :2/3 (0.666 ) autant la réponse aléatoire confirme mon idée...

Sur 36000  positions je trouve  0.83385   ou  171 ° 81 de moyenne.

Si quelqu'un peut confirmer
 Posté par 
GBZMre : cercle et proba  14-03-25 à 09:26
dpi,  ta simulation me semble très bizarre. Qu'as-tu fait ? N'importe quelle simulation correctement faite confirmera les 2/3.
 Posté par 
Imodre : cercle et proba  14-03-25 à 09:56
@Flight : je n'ai pas donné de réponse à la question pour laisser de l'espace aux autres . Il est clair qu'en plaçant le premier point  au 

 hasard sur le cercle on créé une zone interdite d'angle 120° centrée sur ce point .



Imod
  Posté par 
dpire : cercle et proba  14-03-25 à 15:18
J'avais fait un aléatoire de 1° à 360 ° répété 100 fois soit

36000 angles  avec formule si >60 °-->1  sinon 0.

il ressort un nombre total de 30018  .

Mais il est vrai que dans le sens trigonométrique  un  angle de 305 °

par exemple doit être  lu pour 360-305=55 ° ce qui doit modifier ma formule et sortir environ 6000 cas pour se rapprocher nettement de 2/3 soit 24000.