Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau première
Partager :

cercle et tangente

Posté par
lou1100
31-03-22 à 14:55

Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice
On considère le cercle C1 de centre A(0;-3), de rayon 35 et le cercle C2 de centre C(3;-2) et de rayon 25.

1) Montrer que le cercle C1 passe par le point B(-3;3) et que le cercle C2 passe par le point D(7;0)

2) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par B et perpendiculaire au rayon [AB]

Remarque: Cette droite est la tangente au cercle C1 en B.

3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle C2 en D

4) Démontrer que ces deux tangentes sont perpendiculaires

5) Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (CD) ? Justifier

------------------------------------------------------------------------

J'ai réussi la question 1
Pour la question 2, je pense qu'il faut trouver un vecteur normal
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 15:30

Bonjour

oui \vec{AB} est un vecteur normal à la tangente en B au cercle

Appelez T cette tangente, c'est plus simple pour y faire référence

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:07

Je trouve un vecteur AB ( - 3; 6 )
On a donc le vecteur normal n( a; b )
n ( -3; 6 )
On en déduit une équation de type ax + by + c = 0
-3x + 6y + c = 0
On pose le point A ( 0; - 3 )
- 3 x 0 + 6 x - 3 + c = 0
c = 18
- 3x + 6y + 18 = 0
On peut diviser l'expression par 3
-x + 2y + 6 = 0

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:26

\vec{AB}\ \dbinom{-3}{6}


on peut alors prendre un vecteur colinéaire à \vec{AB} par exemple \dbinom{1}{-2}.

La tangente ne passe par A   centre du cercle, mais par B.

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:34

On en déduit une équation de type ax + by + c = 0
x -2y + c = 0
On pose le point B ( -3; 3 )
- 3 x 1 + 6 x  3 + c = 0
c = -15
x - 2y -15 = 0

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:43

Vous avez fait un mélange des deux vecteurs

vous avez bien écrit que l'équation était de la forme

x-2y+c=0  en remplaçant par les coordonnées de B on a  :

 1\times (-3)-2\times 3+c=0

Au lieu de -2 vous avez repris 6

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:46

Oui c'est vrai ! faute de frappe
x - 2y + c = 0
On prend les coordonnées de B ( -3;3 )
1 x ( - 3) - 2 x 3 + c = 0
-3 - 6 + c = 0
- 9 + c = 0
c= 9
x - 2y + 9 = 0

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 16:55

Sans problème, c'est exact.

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:29

Génial !
Pour la question 3,
Vecteur CD ( 7 - 3; -2 - 0 )
Vecteur CD ( 4; -2)
On trouve un vecteur colinéaire ( 2;-1 )
On pose l'équation
2x -1y + c = 0
On sait qu'elle passe en D
On remplace
2 x 7- 1 x 0 + c = 0
14 + c = 0
c = - 14
On a
2x - 1y - 14 = 0

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:42

Encore une erreur d'inattention !

\vec{CD}\ \dbinom{x_D-x_C}{y_D-y_C}=\dbinom{7-3}{0-(-2)}

Vous avez échangé les ordonnées de D et C.

Un moyen peut être  \vec{CD}  en colonnes, on commence par écrire les coordonnées de l'extrémité ainsi que le signe -

\dbinom{7-}{0-}  et on place ensuite les coordonnées de l'origine

\dbinom{7-3}{0-(-2)} et on simplifie.

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:47

Merci pour cette astuce !
On a donc le vecteur CD ( 4; 2 )
On déduit un vecteur colinéaire ( 2; 1 )
2x  + 1y + c = 0
On a D
On remplace
2 x 7 + 1 x 0 + c = 0
14 + c = 0
c = - 14
On a
2x - 1y - 14 = 0

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:51

Encore une !!

2x+y-14=0

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:54

Mince..
Donc
2x + y - 14 = 0 est juste

4) pour montrer que deux tangentes sont perpendiculaires, on peut utiliser le produit scalaire en prenant deux vecteurs directeurs et on voit que le produit scalaire est nul

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 18:57

Oui on peut aussi prendre les deux vecteurs normaux

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 19:03

Je prends donc:
AB( 1 ; - 2 ) et CD( 2; 1 )

AB.CD = 1 x 2 + (-2) x 1
= 2 - 2
= 0
Les tangentes sont donc perpendiculaires

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 19:07

Oui, les droites tangentes sont perpendiculaires

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 19:19

5)On déduit donc que comme le produit scalaire est nul, les droites
AB et CD sont tangentes et perpendiculaires

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 19:22

Non, la tangente en B est perpendiculaire à (AB)  et la tangente en D est perpendiculaire à la tangente en B.

  Conclusion ?

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 20:06

On peut donc déduire que les droites sont parallèles

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 20:20

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.

Elles sont bien parallèles.

Un dessin pour vérifier

cercle et tangente

Si vous voulez une autre manière :
Vous avez les coordonnées de \vec{AB} vous prenez un vecteur directeur de la tangente en D. Vous montrez qu'ils sont colinéaires.

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 21:01

Merci beaucoup !
Le dessin est une superbe idée c'est très parlant
Puis-je l'imprimer et le mettre dans ma copie ?

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 21:23

Un dessin est toujours apprécié.  Vous pouvez le prendre, ou le refaire  sauf si vous ne connaissez pas GeoGebra.

De rien

Posté par
lou1100
re : cercle et tangente 31-03-22 à 21:31

Oui je viens de la refaire ( après l'avoir supprimé avec une fausse manip... )
Merci encore pour votre aide !
Passez une belle soirée
lou1100

Posté par
hekla
re : cercle et tangente 31-03-22 à 21:39

Encore une faute d'inattention alors !
De rien
bonne soirée



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1688 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !