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cercle et tangente
Bonjour, j'ai un problème avec cet exercice
On considère le cercle C1 de centre A(0;-3), de rayon 3
5 et le cercle C2 de centre C(3;-2) et de rayon 25.
1) Montrer que le cercle C1 passe par le point B(-3;3) et que le cercle C2 passe par le point D(7;0)
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par B et perpendiculaire au rayon [AB]
Remarque: Cette droite est la tangente au cercle C1 en B.
3) Déterminer une équation cartésienne de la tangente au cercle C2 en D
4) Démontrer que ces deux tangentes sont perpendiculaires
5) Que peut-on en déduire pour les droites (AB) et (CD) ? Justifier
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J'ai réussi la question 1
Pour la question 2, je pense qu'il faut trouver un vecteur normal
Merci d'avance pour votre aide
Bonjour
oui est un vecteur normal à la tangente en B au cercle
Appelez T cette tangente, c'est plus simple pour y faire référence
Je trouve un vecteur AB ( - 3; 6 )
On a donc le vecteur normal n( a; b )
n ( -3; 6 )
On en déduit une équation de type ax + by + c = 0
-3x + 6y + c = 0
On pose le point A ( 0; - 3 )
- 3 x 0 + 6 x - 3 + c = 0
c = 18
- 3x + 6y + 18 = 0
On peut diviser l'expression par 3
-x + 2y + 6 = 0
on peut alors prendre un vecteur colinéaire à par exemple
.
La tangente ne passe par A centre du cercle, mais par B.
On en déduit une équation de type ax + by + c = 0
x -2y + c = 0
On pose le point B ( -3; 3 )
- 3 x 1 + 6 x 3 + c = 0
c = -15
x - 2y -15 = 0
Vous avez fait un mélange des deux vecteurs
vous avez bien écrit que l'équation était de la forme
en remplaçant par les coordonnées de B on a :
Au lieu de vous avez repris 6
Oui c'est vrai ! faute de frappe
x - 2y + c = 0
On prend les coordonnées de B ( -3;3 )
1 x ( - 3) - 2 x 3 + c = 0
-3 - 6 + c = 0
- 9 + c = 0
c= 9
x - 2y + 9 = 0
Génial !
Pour la question 3,
Vecteur CD ( 7 - 3; -2 - 0 )
Vecteur CD ( 4; -2)
On trouve un vecteur colinéaire ( 2;-1 )
On pose l'équation
2x -1y + c = 0
On sait qu'elle passe en D
On remplace
2 x 7- 1 x 0 + c = 0
14 + c = 0
c = - 14
On a
2x - 1y - 14 = 0
Encore une erreur d'inattention !
Vous avez échangé les ordonnées de D et C.
Un moyen peut être en colonnes, on commence par écrire les coordonnées de l'extrémité ainsi que le signe
et on place ensuite les coordonnées de l'origine
et on simplifie.
Merci pour cette astuce !
On a donc le vecteur CD ( 4; 2 )
On déduit un vecteur colinéaire ( 2; 1 )
2x + 1y + c = 0
On a D
On remplace
2 x 7 + 1 x 0 + c = 0
14 + c = 0
c = - 14
On a
2x - 1y - 14 = 0
Mince..
Donc
2x + y - 14 = 0 est juste
4) pour montrer que deux tangentes sont perpendiculaires, on peut utiliser le produit scalaire en prenant deux vecteurs directeurs et on voit que le produit scalaire est nul
Je prends donc:
AB( 1 ; - 2 ) et CD( 2; 1 )
AB.CD = 1 x 2 + (-2) x 1
= 2 - 2
= 0
Les tangentes sont donc perpendiculaires
5)On déduit donc que comme le produit scalaire est nul, les droites
AB et CD sont tangentes et perpendiculaires
Non, la tangente en B est perpendiculaire à (AB) et la tangente en D est perpendiculaire à la tangente en B.
Conclusion ?
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles.
Elles sont bien parallèles.
Un dessin pour vérifier
Si vous voulez une autre manière :
Vous avez les coordonnées de vous prenez un vecteur directeur de la tangente en D. Vous montrez qu'ils sont colinéaires.
Merci beaucoup !
Le dessin est une superbe idée c'est très parlant
Puis-je l'imprimer et le mettre dans ma copie ?
Un dessin est toujours apprécié. Vous pouvez le prendre, ou le refaire sauf si vous ne connaissez pas GeoGebra.
De rien
Oui je viens de la refaire ( après l'avoir supprimé avec une fausse manip... )
Merci encore pour votre aide !
Passez une belle soirée
lou1100
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