cercle tangent à parabole

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cercle tangent à parabole
Posté par 
mathafou   11-09-17 à 13:04
Bonjour,

 DM Tangentes cercle et parabole

Citation :
j'ai trouvé l'exercice intéressant

il l'est.

hors sujet, on peut généraliser à une parabole définie géométriquement (Foyer et directrice) et un point quelconque de l'axe de cette parabole "à l'intérieur" de cette parabole.

soit :

étant donnée une parabole (P) de foyer F et de directrice (d), et un point O quelconque de l'axe de cette parabole, "à l'intérieur".

construire (à la règle et au compas) le cercle de centre O tangent à cette parabole (autre que celui tangent à la parabole en son sommet)

(analyse purement géométrique sans aucun calcul)

blanquer si vous le souhaitez, c'est la récré
 Posté par 
royannaisre : cercle tangent à parabole  11-09-17 à 14:06
bonjour,

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Reporter sur l'axe, à partir de O, vers le bas la distance focale de la parabole.

La parallèle à la directrice passant par le point obtenu coupe la parabole en T
 Posté par 
mathafou re : cercle tangent à parabole  11-09-17 à 14:23
Bien vu 

 Cliquez pour afficher
(j'avais plus compliqué, j'ai oublié le coup de la sous normale égale au paramètre)

mais si on accepte que la parabole est tracée effectivement au préalable :

c'est donc à la règle, compas et parabole

et pas seulement règle et compas 

mais pas difficile de compléter pour trouver avec seulement règle et compas le point de la parabole qui est sur cette droite là.

 Posté par 
royannaisre : cercle tangent à parabole  11-09-17 à 15:01
Je pensais que la parabole était tracée. Si  ce n'est pas le cas :

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il suffit de tracer le cercle de centre F et de rayon FO pour retrouver le point T
 Posté par 
mathafou re : cercle tangent à parabole  11-09-17 à 15:05
tout à fait "il n'est pas difficile de compléter ..." disais-je.

c'est fait.
 Posté par 
royannaisre : cercle tangent à parabole  17-09-17 à 14:05
J'ai imaginé le même problème avec une ellipse définie par ses deux foyers F et F' et une autre caractéristique : grand  axe , excentricité,...

M étant un point de ]F,F'[ construire à la règle et au compas,le cercle de centre M tangent intérieur à l'ellipse.

Si l'ellipse est tracée il n'y a pas de difficulté mais si elle n'est pas tracée je n'arrive pas à  construire le point T

 Posté par 
mathafou re : cercle tangent à parabole  17-09-17 à 14:16
Bonjour,

Indice :

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 la normale est bissectrice des rayons vecteurs.

cela permet de tracer la droite (MT) 

le point d'intersection est alors une construction classique de l'intersection d'une droite quelconque avec l'ellipse définie par ce qu'on veut (foyer et directrice ou foyer et un point ou etc ) même pas tracée.

indice n° 2 : l'ellipse est la transformée d'un cercle par une affinité orthogonale.

 Posté par 
royannaisre : cercle tangent à parabole  17-09-17 à 15:34
Bonjour Mathafou

Merci, c'était tellement évident que je n'avais rien vu  !
 Posté par 
royannaisre : cercle tangent à parabole  20-09-17 à 16:24
Bonjour

Même question avec une hyperbole définie par ses foyers et une autre caractéristique.

J'ai trouvé la construction un peu plus compliquée.

  Posté par 
mathafou re : cercle tangent à parabole  20-09-17 à 16:59
en fait c'est la même si on veut.

(après tout, une ellipse et une hyperbole ont une définition commue)

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(même propriété : la tangente et la normale sont les bissectrices des rayons vecteurs)

d'ailleurs "cela permet de tracer la droite (MT)" en fait je n'ai pas trouvé après réflexion, j'avais répondu sans faire effectivement la construction.

je trace plutôt la tangente commune et par conséquent la droite MT qui lui est perpendiculaire.