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Cercle trigonométrique
Bonjour à tous, j'ai un dernier exercice dans mon dm de maths, mais je suis complétement perdu, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? Merci d'avance.
1°Soit un réel x appartient à [0;(pi/2)]
a. placer sur le cercle trigonométrique le point M, de coordonnées (cos x ; sin x) et le point A de coordonnées (1 ; 0). On appelle O le centre du cercle.
b. en calculant de deux manières différentes l'aire du triangle OAM, montrer que sin x= 2sin (x/2) cos (x/2)
c. montrer que cette même formule vaut lorsque x appartient à [(-pi)/2 ; 0]
d. montrer que cette même formule reste vraie lorsque x appartient à [(-pi)/2 ; (3pi)/2], et même pour tout x appartient à R.
2°On suppose maintenant que x appartient à ]-pi ; pi[ et on considère le point N du cercle trigonométrique, de coordonnées (cos x ; sin x) et le point H de coordonnées (cos x ; 0). On appelle A le point (1 ; 0) et B le point (-1 ; 0).
a. faire une figure, combien vaut l'angle NBO ?
b. montrer que BH = 1 + cos x
c. montrer que BH/BN = BN/BA = cos (x/2)
d. en déduire que pour tout x appartenant à ](-pi) ; pi[, cos x = 2 cos² (x/2) - 1. Cette formule reste-elle vraie pour tout x appartenant à R ?
e. vérifier que pour tout x appartenant à R, on a (2 cos²(x/2) - 1)² + (2 sin(x/2) cos(x/2))²=1
Appelle H la projection de M sur ox et I le milieu de AM.
l'aire du triangle OAM peut-être calculée en faisant OA.HM/2 mais aussi en faisant AM.OI/2. Essaye en exprimant toutes ces distances en fonction de cos x; sin x , cos x/2 ou sin x/2
Alors j'ai trouvé ça :
OA = cos x
HM = cos x/2
AM = sin x
OI = sin x/2
donc on a : cos x . cos x/2 et sin x . sin x/2 ?
je ne comprends aucun de tes calculs. essaye d'avoir une démarche logique et ne pas mettre des expressions au hasard.
non OA = 1 (A est sur le cercle trigo !!)
HM = sin x (par définition la projection sur l'axe des y c'est le sinus de l'angle)
AM = sin x, non pourquoi ?
OI = sin x / 2 
Pour trouver AM, tu dois dire que c'est 2AI et pour trouver AI tu écris que sin AOI = sin(x/2) = AI/OA
Pour trouver OI tu écris que le cos AOI = cos x/2 = coté adjacent / hypoténuse = OI/OA
Je suis désolée, mais ce chapitre est un peu compliqué pour moi et je pensais avoir trouvé.
J'ai compris comment vous avez trouvé OA et HM, pour AM : j'ai trouvé que sin (x/2) = AI et comme 2AI = AM alors je pense que AM = 2 sin(x/2) ?
Pour OI, j'ai eu l'idée d'utiliser le théorème de Pythagore et a me donne que OI = sin(x/2) + cos x ?
et AOI c'est x/2 donc OI = cos (x/2)
maintenant en égalant les deux aires tu devrais trouver ta formule
pourquoi -0,27 ?? ça risque pas, M est variable donc x ne risque pas de valoir quelque chose.
non d'une part l'aire vaut OA.HM/2 = sin(x) /2
et d'autre part AM.OI/2 = AI.OI = cos(x/2) sin(x/2)
et donc sin(x) /2 = cos(x/2) sin(x/2)
sin(x) = 2 sin(x/2) cos(x/2)
Ah d'accord. Maintenant, pour la question c, on doit montrer que cette formule vaut lorsque x appartient à [(-pi)/2 ; 0]. On doit s'aider d'un schéma ?
applique sin(-x) = - sin (x) et cos (-x) = cos(x) pour montrer que cette égalité est bien également vérifiée.
Et donc en faisant des modifications on a;
sin -x = -sin x
2 sin (-x/2) = -2 sin(x/2)
et cos (x/2) = cos (-x/2)
et donc on a : -sin x = -2sin(x/2) cos (-x/2)
et ça fait : sin x = 2sin(x/2) cos(x/2)
Oui. Pour la d, j'ai un petit problème pare que le sinus peut être positif ou négatif, est ce que je dois prendre en compte les 2 dans le calcul ?
d. Il résulte des questions a, b et c que la formule s'applique aux angles appartenant aux quadrants de droite, c'est-à-dire le premier et le quatrième quadrant.
Pour passer d'un angle x dans ces quadrants à un angle dans les deuxième et troisième quadrants, on peut ajouter pi à x .
Il faudrait donc vérifier ce que devient la formule quand on remplace x par x + pi .
Donc il ne reste plus que la zone x appartient à [(pi)/2 ; (3pi)/2] à vérifier
Pour cela il suffit de vérifier que la formule reste vraie si on change x en pi/2+x
d. La formule que je trouve c'est sin ((pi+x) /2) = 2 sin ((pi+x)/2) cos ((pi+x)/2
ensuite on a :
sin (pi+x) = -sin x
puis pareil 2 sin (pi+x) = -2 sin x
et cos (pi+x) = -cos x
donc ça donne : - sin x= -2 sin (x/2) -cos (x/2)
et on a : sin x= 2 sin (x/2) cos (x/2) dans l'intervalle [(pi/2) ; (3pi/2)
on peut en déduire que cette formule est vraie pour tout R car on a vérifier pour tout les intervalles.
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