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Niveau seconde
Cercles et géométrie plane
Posté par cerveaulogik
Bonsoir à tous !
J'étudie actuellement le livre de géométrie de 2nde de Lebossé & Hémery (édition de 1947), un bijou pendant la lecture duquel on se demande qui étaient les élèves à cette époque là...
Il y a énormément d'exercices que je trouve très difficiles (et pourtant j'estime humblement avoir un très bon niveau pour mon âge, étant en classe de 1ère), donc si vous avez des conseils pour moi je suis preneur.
L'exercice particulier sur lequel je n'y arrive pas est le numéro 124 :
Deux cercles de centres respectifs O et O' se coupent en A et B. Une droite variable passant par A coupe le cercle O en C et le cercle O' en D. Soient M et N les milieux de AC et AD.
1) Montrer que MN = CD/2 (pas difficile, je l'ai fait)
2) Construire la droite (CD) de telle sorte que CD ait une longueur donnée 2l
3) Soit I le milieu de MN. Montrer que la perpendiculaire en I à (CD) passe par un point fixe. Construire (CD) de façon à ce que A soit le milieu de CD.
Les exercices 2) et 3) m'abasourdissent complètement, surtout avec les moyens élémentaires demandés par le livre.
Je suis convaincu que l'on peut aussi les résoudre avec le point de vue des transformations (car je crois que j'ai déjà vu ces exercices dans un livre de Isaak Yaglom), donc ce serait un bonus si j'exhibais celles ci.
Si par ailleurs le sujet n'est pas dans le bon forum, que les administrateurs n'hésitent pas à le modifier.
Merci d'avance
Bonjour,
Pour la 2/, cela revient à tracer 2 droites parallèles distantes de l, l'une passant par O, l'autre par O'.
A cet effet, pourquoi ne pas considérer le cercle de diamètre OO' ?
Ah en effet, le résultat devient presque trivial avec cette remarque !
En effet, les droites (OM) et (O'N) sont parallèles, et leur distance vaut la longueur MN. Pour cela, il suffit de considérer le cercle dont un diamètre est [OO']. Ensuite, on trouve sur ce cercle un point tel
que
. Alors, le triangle
est perpendiculaire en A, ce qui fait que la droite (O'A) et sa parallèle passant par O ont pour sont séparées d'une distance l
.
Il ne reste plus qu'à tracer la perpendiculaire à passant par ces deux parallèles...
Mais la question que je me pose à présent est la suivante : comment penser à une telle idée ?
Bonjour,
Je corrige les coquilles avec 2L pour la longueur que l'on veut obtenir :
Citation :
En effet, les droites (OM) et (O'N) sont parallèles, et leur distance vaut la longueur MN. Pour cela, il suffit de considérer le cercle C dont un diamètre est [OO']. Ensuite, on trouve sur ce cercle un point I tel que OI = L. Alors, le triangle OIO' est perpendiculaire en I, ce qui fait que la droite (O'I) et sa parallèle passant par O sont séparées d'une distance L.
Il ne reste plus qu'à tracer la perpendiculaire à ces deux parallèles passant par A ...
En effet, les droites (OM) et (O'N) sont parallèles, et leur distance vaut la longueur MN. Pour cela, il suffit de considérer le cercle C dont un diamètre est [OO']. Ensuite, on trouve sur ce cercle un point I tel que OI = L. Alors, le triangle OIO' est perpendiculaire en I, ce qui fait que la droite (O'I) et sa parallèle passant par O sont séparées d'une distance L.
Il ne reste plus qu'à tracer la perpendiculaire à ces deux parallèles passant par A ...
Pour comment penser à l'idée, je laisse larrech répondre.
Je ne trouvais rien non plus...
Par contre, une petite discussion me semble nécessaire pour l'existence du point I.
Et peut-être aussi préciser comment on choisit le point I quand il y en a plusieurs...
Bonjour à tous,
Pour l'idée, il y a d'abord un réflexe purement scolaire : si on me pose la question 1/, c'est vraisemblablement pour que je m'en serve dans la question d'après.
Ensuite, je suis (hélas) d'une génération qui a connu et pratiqué les austères "Lebossé & Hémery ", bien après 1947 cependant...
Pour être complet, j'ajoute qu'une discussion est nécessaire quant à la possibilité de réaliser la construction.
La question 3/ est très simple, et je pense que tout le monde a trouvé. 
Je ne l'avais pas regardée
Sinon, j'aurais changé le nom du point de la question 2) sur le cercle de diamètre [OO'].
C'est OK.